Problem 2 数列(seq.cpp/c/pas)
【题目描述】
a[1]=a[2]=a[3]=1
a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)
求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。
【输入格式】
第一行一个整数T，表示询问个数。
以下T行，每行一个正整数n。
【输出格式】
每行输出一个非负整数表示答案。
【样例输入】
3
6
8
10
【样例输出】
4
9
19
【数据范围】
对于30%的数据 n<=100；
对于60%的数据 n<=2*10^7；
对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；
洛谷上也有https://www.luogu.org/problem/show?pid=1939
乍一看感觉是一道模拟题，但是巨大的数据范围让人望而生畏，一般期望得分为60分。
如何得到100分成为了一个难点。
经过分析，不难发现递推公式$a[x]=a[x-3]+a[x-1](x>3)$与Fibonacci数列十分相似，我们可以进行转化，得到这道题的做法，快速求Fibonacci数列。
至于快速求Fibonacci数列的方法主要是矩阵快速幂。
所以这道题就转化为了求矩阵快速幂，而矩阵快速幂的本质是矩阵乘法，至于什么是矩阵乘法，大家可以上网搜索一下，博主个人感觉这篇博客写得还不错。
矩阵乘法代码实现：
1 struct Matrix{
2 ll a[3][3];
3 };
4
5 Matrix multiply(Matrix x, Matrix y)
6 {
7 Matrix t;
8 for(int i = 0; i < 3; i++)
9 for(int j = 0; j < 3; j++)
10 {
11 t.a[i][j] = 0;
12 for(int k = 0; k < 3; k++)
13 t.a[i][j] = (t.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j] % MOD) % MOD;
14 }
15 return t;
16 }
如果只用矩阵乘法时间复杂度与模拟没有什么区别，甚至更甚，所以我们需要进行简化，因为矩阵相乘满足结合律，所以矩阵$A*A*A*A$可以写成$(A*A)*(A*A)$，也就是说几个相同的矩阵相乘本质就相当于几个数相乘，也就是说，矩阵$A*A*A*A$与$A^{4}$区别不大，我们就可以用快速幂来计算多个相同的矩阵相乘。至于快速幂的本质实际上是二分。
1 struct Matrix{
2 ll a[3][3];
3 };
4
5 Matrix multiply(Matrix x, Matrix y)
6 {
7 Matrix t;
8 for(int i = 0; i < 3; i++)
9 for(int j = 0; j < 3; j++)
10 {
11 t.a[i][j] = 0;
12 for(int k = 0; k < 3; k++)
13 t.a[i][j] = (t.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j] % MOD) % MOD;
14 }
15 return t;
16 }
17
18 Matrix pow_mod(Matrix a, ll p)
19 {
20 Matrix base = a;
21 Matrix res = a;
22 p--;
23 while(p)
24 {
25 if(p&1) res = multiply(res, base);
26 base = multiply(base, base);
27 p >>= 1;
28 }
29 return res;
30 }
那么到底怎么用矩阵快速幂来解决知道题呢？看图
每做一次乘法就相当于递推一次，而我们需要递推N次，就相当在初始矩阵上反复乘
$1 0 1$
$1 0 0$
$0 1 0$
循环n次就是乘n次，这样就可以用矩阵快速幂了。
题目AC代码：
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <algorithm>
4
5 using namespace std;
6
7 typedef long long ll;
8 const int MOD = 1e9 + 7;
9
10 struct Matrix{
11 ll a[3][3];
12 };
13
14 Matrix multiply(Matrix x, Matrix y)
15 {
16 Matrix t;
17 for(int i = 0; i < 3; i++)
18 for(int j = 0; j < 3; j++)
19 {
20 t.a[i][j] = 0;
21 for(int k = 0; k < 3; k++)
22 t.a[i][j] = (t.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j] % MOD) % MOD;
23 }
24 return t;
25 }
26
27 Matrix pow_mod(Matrix a, ll p)
28 {
29 Matrix base = a;
30 Matrix res = a;
31 p--;
32 while(p)
33 {
34 if(p&1) res = multiply(res, base);
35 base = multiply(base, base);
36 p >>= 1;
37 }
38 return res;
39 }
40
41 int t;
42 int ans[110];
43 Matrix m, x, y;
44
45 int main()
46 {
47 scanf("%d", &t);
48 m.a[0][0] = 1; m.a[0][1] = 0; m.a[0][2] = 1;
49 m.a[1][0] = 1; m.a[1][1] = 0; m.a[1][2] = 0;
50 m.a[2][0] = 0; m.a[2][1] = 1; m.a[2][2] = 0;
51 for(int i = 1; i <= t; i++)
52 {
53 int d;
54 scanf("%d", &d);
55 if(d <= 3)
56 {
57 printf("1\n");
58 continue;
59 }
60 x=pow_mod(m, d - 3);
61 ll sum = 0;
62 for(int i = 0; i < 3; i++)
63 sum = (sum + x.a[0][i]) % MOD;
64 printf("%d\n", sum);
65 }
66 return 0;
67 }