「PKUWC2018」随机算法

传送门

Description

我们知道,求任意图的最大独立集是一类NP完全问题,目前还没有准确的多项式算法,但是有许多多项式复杂度的近似算法。

例如,小 C 常用的一种算法是:

  1. 对于一个 \(n\) 个点的无向图,先等概率随机一个 $1\ldots n $的排列 \(p[1\ldots n]\)。
  2. 维护答案集合 \(S\),一开始 \(S\) 为空集,之后按照 \(i=1\ldots n\) 的顺序,检查 \(\{p[i]\}\cup S\) 是否是一个独立集,如果是的话就令 \(S=\{p[i]\}\cup S\)。
  3. 最后得到一个独立集 \(S\) 作为答案。

小 C 现在想知道,对于给定的一张图,这个算法的正确率,输出答案对 \(998244353\)取模

Solution

其实并没有很难。

\(f[S]\)表示当前排列中的元素状态为\(S\)时的准确率,\(g[S]\)表示它的最大独立集大小。

我们不妨枚举\(S\)排列的第\(1\)个数\(j\),从\(S\)中去掉包括\(j\)在内的所有与\(j\)有关联的点得到集合\(S'\),显然,若\(S\)排列的第\(1\)个数为\(j\),它的准确率就是\(f[S']\)。所以:

\[f[S]=\frac{\sum f[S']}{|S|}\]

最后答案就是\(f[U]\)啦

Code?

//2019.1.16 8:24~9:20 PaperCloud
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define mod 998244353
int N,f[1<<20],g[1<<20],s[20],inv[22];
int main()
{
    register int n=read(),m=read(),i,j,cnt,k;
    while(m--) i=read()-1,j=read()-1,s[i]|=1<<j,s[j]|=1<<i;
    for(i=0;i<n;++i) s[i]|=1<<i;
    for(inv[1]=f[0]=1,i=2;i<=n;++i) inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    for(N=1<<n,i=1;i<N;f[i]=1ll*f[i]*inv[cnt]%mod,++i)
        for(cnt=j=0;j<n;++j)if(i>>j&1)
        {
            cnt++;g[i]<g[k=i&(~s[j])]+1?(g[i]=g[k]+1,f[i]=0):0;
            g[i]==g[k]+1?(f[i]+=f[k])%=mod:0;
        }
    return 0*printf("%d\n",f[N-1]);
}


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时间: 2024-11-06 09:31:54

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传送门 完了pkuwc咋全是dp怕是要爆零了-- 设\(f(S)\)表示\(S\)的排列数,\(S\)为不能再选的点集(也就是选到独立集里的点和与他们相邻的点),\(mx(S)\)表示\(S\)状态下对应的独立集大小,枚举点\(i\),如果\(i\)不在\(S\)里,分情况考虑,设\(w[i]\)表示点\(i\)以及与之相邻的点,\(T=S|w[i]\),\(sz[S]\)表示二进制\(S\)有多少个\(1\),如果\(mx[T]=mx[S]+1\),那么\[f[T]+=f[S]\times A

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题面在这里! 显然你如果直接带一个子集到树上dp的话复杂度是会炸上天的23333. 考虑期望也是可以进行min_max容斥的,也就是: max{S} = ∑ min{T} * (-1) ^( |T|+1 ) ,其中T是S的一个非空子集,max{S}和min{S}分别代表集合中所有条件都被满足的期望时间 和 集合中至少有一个条件被满足的期望时间, 当然对本题来说就是 所有钦定的点都被到过一次的期望时间 和 第一次到某个钦定的点的期望时间.... 发现min非常的好算,对于每个集合直接一次树上dp

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明天就是CTSC的DAY 2了qwq,晚上敲敲暴力攒攒RP,果断随便看了个题就是打暴力hhhhh 前50% O(3^N) 暴力没什么好说的,我们设F[S][s]为已经选了S集合中的点,并且这个集合中的点的最大独立集是s的方案数,最后统计完了乘上 n! 的逆元就好了.  (s肯定是S的一个子集,所以复杂度是 3^n) 然鹅中间的暴力分只会链..... 首先如果n是奇数的话,那么最大独立集只可能是所有奇数点,所有这种情况下我们知道了选了的点的集合就知道独立集是什么了,所以可以直接 O(2^n) dp

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https://loj.ac/problem/2541 自己是有多菜啊,10天前做的题,当时还是看了题解,还让NicoDafaGood同学给我讲了一下. 而我现在忘得一干二净,一点都想不起来了…… 主要是当时听懂了就打了,没有总结啊. 我们发现,我们设集合$A$的$w$之和是$S_A$ 那么一个集合$A$在1之后死的概率是$\frac{w_1}{S_A+w_1}$. 为什么呢. 虽然每次选下一个会死的人,是从没死的人中选,但是实际上,也可以是所有人中选,如果选到了死了的人就继续选. 记得很久以前

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