循环神经网络主要运用在序列数据之中，因此下文将以比较典型的文本数据进行分析。
一、 Vocabulary
对于神经网络，我们输入的X必须是数字，不然无法参与计算。因此这里就创建一个vocabulary，给每一个词编码。
比如a可能代表1，b可能代表452等；随后我们使用one_hot来代表这些单词。
一般来说，词典的大小，将会成为我们输入的X的维度，因此循环神经网络的计算量往往很大。
二、 模型（正向传播）
为了充分利用序列化数据的序列特征，循环神经网络将X的每一个单位数据称为一个时间步的数据。这里以《动手学深度学习》一书中的插图进行分析。
从图中可以看出，时间步，输入，隐藏层，输出，标签等；
这里的输入就是我们的词向量，通过隐藏层，来预测一个我们想要的结果。图中的预测结果即是下一个时间步的标签，但事实上，输出的结果完全可以由我们自己决定。当然这也取决于模型的使用目的。
一般来说，循环神经网络中的输入和输出是相同的，就像图中一样。但是也有不少循环神经网络输入输出的数量并不同。常见的如情感分析，只需要在循环神经网络最后一步输出一个结果。
现在进入数学部分。
$\boldsymbol{H}_{t}=\phi\left(\boldsymbol{X}_{t} \boldsymbol{W}_{x h}+\boldsymbol{H}_{t-1} \boldsymbol{W}_{h h}+\boldsymbol{b}_{h}\right)$
这一步是关于H的计算，H的计算主要考虑前一步的隐藏层输出以及这一步的输入，即Ht-1和Xt。
在隐藏层中，常用的激活函数是tanh。
$\boldsymbol{O}_{t}=\boldsymbol{H}_{t} \boldsymbol{W}_{h q}+\boldsymbol{b}_{q}$
这里是每一步的输出层输出的计算，它将隐藏层的输出作为输入进行线性计算。
三、 反向传播
反向传播的过程稍微复杂，这主要是由于循环神经网络在计算的过程中，涉及不同箭头的计算。
$a^{(t)}=\tanh \left(W_{a x} x^{(t)}+W_{a a} a^{(t-1)}+b\right)$
$\frac{\partial \tanh (x)}{\partial x}=1-\tanh (x)^{2}$
$\frac{\partial a^{(t)}}{\partial W_{a x}}=\left(1-\tanh \left(W_{a x} x^{(t)}+W_{a a} a^{(t-1)}+b\right)^{2}\right) x^{(t) T}$
$\frac{\partial a^{(t)}}{\partial W_{a a}}=\left(1-\tanh \left(W_{a x} x^{(t)}+W_{a a} a^{(t-1)}+b\right)^{2}\right) a^{\langle t-1\rangle T}$
$\frac{\partial a^{(t)}}{\partial b}=\sum_{\text {buch}}\left(1-\tanh \left(W_{a x} x^{\langle t\rangle}+W_{a a} a^{\langle t-1\rangle}+b\right)^{2}\right)$
$\frac{\partial a^{(t)}}{\partial x^{(t)}}=W_{a x}^{T} \cdot\left(1-\tanh \left(W_{a x} x^{(t)}+W_{a a} a^{(t-1)}+b\right)^{2}\right)$
$\frac{\partial a^{(t)}}{\partial a^{(t-1)}}=W_{a a}^{T} \cdot\left(1-\tanh \left(W_{a x} x^{(t-1)}+W_{a a} a^{(t-1)}+b\right)^{2}\right)$
反向传播的方向就是把前向传播的箭头全部改变方向，这里不做一一解释。
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