【RAY TRACING THE REST OF YOUR LIFE 超详解】 光线追踪 3-1

今天起，我们就开始学习第三本书了

这本书主要讲的是蒙特卡罗渲染，以及相关的数学、术语概念等

我们先来一个简单的开胃菜

chapter 1：A Simple Monte Carlo Program

蒙特卡罗方法（MC）是一种统计模拟方法，是一类很重要的数值计算方法，它是一种使用随机数解决好很多实际问题的方法。

先来看一个很简单的例子：估计π

有很多经典的方法，其中之一是

假设你扔了很多随机的点到方框中，那么有一部分在圆内，其中圆内点和方框点的比例应该就是圆的面积和方框面积的比例，由此：

比例 = (π * R * R)/((2R)*(2R)) = π/4

所以上式和R无关，我们任意取R = 1，圆心位于原点，则

#include <iostream>
#include <lvgm\randfunc.hpp>
#define stds std::
using namespace lvgm;

void estimate_π(const size_t points)
{
    int inside = 0;
    for (int i = 0; i < points; ++i)
    {
        double x = 2 * rand01() - 1;
        double y = 2 * rand01() - 1;
        if (x*x + y*y < 1)
            inside++;
    }
    stds cout << "Estimate of π by" << points << "test points is " << 4 * double(inside) / points << stds endl;
}

int main()
{
　　estimate_π(1000);
　　estimate_π(10000);
　　estimate_π(100000);
　　estimate_π(1000000);
　　estimate_π(10000000);
　　estimate_π(10000000 / 2);
}

模拟结果为

当然我们可以利用下面的程序使结果迅速逼近π

void lawDiminishingReturns()
{
    int inside = 0;
    int runs = 0;
    while (true)
    {
        runs++;
        double x = 2 * rand01() - 1;
        double y = 2 * rand01() - 1;
        if (x*x + y*y < 1)
            inside++;
        if(runs % 10000 == 0)
            stds cout << "Estimate of π by" << runs << "test points is " << 4 * double(inside) / runs << stds endl;
    }
}

结果：

.

一开始非常快速的逼近π，之后变化就比较缓慢了，这是一个收益递减法(Law of Diminishing Returns)的例子

即每一个样本对结果的收益少于后面一个，这个是MC的一个缺点，我们可以通过对样本进行分层来减轻这种递减收益，此法通常称为抖动

我们进行网格划分，并在每个网格中选取一个样本：

我们采用边长为1e4的方框进行测试

void stratify()
{
    size_t inside{ 0 };
    size_t circle_stratified{ 0 };
    size_t sqrtAll = 1e4;
    for (int i = 0; i < sqrtAll; ++i)
        for (int j = 0; j < sqrtAll; ++j)
        {
            double x = 2 * rand01() - 1;
            double y = 2 * rand01() - 1;
            if (x*x + y*y < 1)
                inside++;
            x = 2 * ((i + rand01()) / sqrtAll) - 1;
            y = 2 * ((j + rand01()) / sqrtAll) - 1;
            if (x*x + y*y < 1)
                circle_stratified++;
        }
    stds cout << "Regular Estimate of π by 1e8 test points is " << 4 * double(inside) / 1e8 << stds endl;
    stds cout << "Stratified Estimate of π by 1e8 test points is " << 4 * double(circle_stratified) / 1e8 << stds endl;
}

图片渲染运算读写文件的时候慢。。如今控制台运算输出也整不动了。。。。

有意思~

分层方法能更好地收敛于渐近率。不足之处是，这个优势随着问题的维度而降低（例如，对于3D球体积版本，差距会更小）。 这被称为维度诅咒（=.=）。 我们的工程将是非常高的维度（每个反射增加两个维度），所以我不会在本书中进行分层。

但是，如果你做的是单反射或阴影或某些严格的2D问题，分层是个很好的选择

感谢您的阅读，生活愉快~

原文地址：https://www.cnblogs.com/lv-anchoret/p/10327692.html