被一道数学题缠住啦!
遇到这种情况当然是要上网找答案啦!
但找到的每一个答案我都看不懂怎么办?
那就自己死磕吧!
题目:
$f(x)=x^2+px+q$,若$f(f(x))=0$只有一个实根,求证:$p,q\geq0$
以下是我的口胡证明,欢迎纠错。
首先$f(x)=0$肯定要有根,$\triangle\geq0\Rightarrow p^2-4q\geq0\qquad(1)$
然后转化一下原问题:$\left\{\begin{align*}t=f(x)\\f(t)=0\end{align*}\right.$只有一组实数解
容易看出$t\geq-\dfrac{p^2}{4}+q$
假设它的解为$\left\{\begin{align*}x&=x_0\\t&=t_0\end{align*}\right.$
若$x_0\neq-\dfrac{p}{2}$,则$f(-p-x_0)=f(x_0)\Rightarrow f(f(-p-x_0))=f(f(x_0))=0$,矛盾!所以$x_0=-\dfrac{p}{2}$
所以$t_0=-\dfrac{p^2}{4}+q\qquad(2)$
若$t_0\lt -\dfrac{p}{2}$,则$f(-p-t_0)=f(t_0)=0$
如果$-p-t_0\neq t_0$,就有了另一组解,如果$-p-t_0=t_0$,则$t_0=-\dfrac{p}{2}$,也与$t_0\lt -\dfrac{p}{2}$矛盾
所以$t_0\geq-\dfrac{p}{2}\qquad(3)$
由$(1),(2),(3)$可得$p\geq0$
$f(t_0)=0\Rightarrow q^2+(-\dfrac{p^2}{2}+p+1)q+\dfrac{p^4}{16}-\dfrac{p^3}{4}=0$
构造函数$g(q)=q^2+(-\dfrac{p^2}{2}+p+1)q+\dfrac{p^4}{16}-\dfrac{p^3}{4}$,它的开口向上
$g(q)$的对称轴为$q=\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p}{2}-\dfrac{1}{2}$
把$(2)$整理一下,得到$q\geq\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p}{2}$,这个下限比对称轴大,所以我们只需要证这个方程的大根是非负的即可
当$p\geq2$时,$q\geq\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{p}{2}\geq0$
当$0\leq p\lt2$时,$g(0)=\dfrac{p^4}{16}-\dfrac{p^3}{4}\leq0$,所以此方程的大根是非负的
综上,$q\geq0$