数据结构与算法分析（五）——最短路径算法

0）引论

正如名字所言，最短路径算法就是为了找到一个图中，某一个点到其他点的最短路径或者是距离。

最短路径算法一般分为四种情况：

a）无权重的最短路径

b）有权重的最短路径

c）边的权重为负的图

d）无圈的图

ps：上面的情况针对的都是有向图。

1）无权重的最短路径

下图是一个例子：假设我们取点v3作为初始点，计算点v3到图中所有点的路径以及距离（包括点v3）。

a） v3到v3的路径长为0。

b）沿着v3的邻接点查找，找到v1，那么v3到v1的路径长为1；找到v6，那么v3到v6的路径长为1。

c） v3的邻接点已经找完了，接下来找v1，v6的邻接点。

d） v1的邻接点为v2，v4，它们对应的路经长为2；v6无邻接点，v6部分结束。

e） v2的邻接点为v4，v5，而v4已经查找过了，舍弃；v2到v5的路径长为3；v4的邻接点为v5，v7，而v5已经查找过了，舍弃；v4到v7的路径长为3。

f）至此，结束。

对于这一步骤，可以用一个表格来表示，以便于编程理解：

表中有3个表示状态的变量：

a） dv表示点s到图中每个点的距离，结合上面的例子，s=v3.

b） pv表示图中点的路径前继点。

c） Known表示点是否被处理，处理了，则标记为1 。

伪代码：

 1 void Unweighted(Table T)
 2 {
 3     int CurrDist;
 4     Vertex V,W;
 5     for(CurrDist=0;CurrDist<NumVertex;CurrDist++)
 6     {
 7         for each vertex V
 8             if(!T[V].Known&&T[V].Dist==CurrDist)
 9             {
10                 T[V].Known = True;
11                 for each W adjacent to V
12                     if(T[W].Dist == Infinity)
13                     {
14                         T[W].Dist = CurrDist+1;
15                         T[W].Path = V;
16                     }
17             }
18     }
19 }

通拓扑排序一样，对于上面的程序也是存在改进的地方的（第07行），我们没有必要去对each vertex V做一下这么多的步骤，只需要对相邻接的点做就好了。因此用一个队列来使每一个处理的点入队，然后处理其邻接的点。

 1 void Unweighted(Table T)
 2 {
 3     Queue Q;
 4     Vertex V,W;
 5
 6     Q = CreateQueue(NumVertex);
 7     MakeEmpty(Q);
 8     Enqueue(S,Q);//S is the start Vertex
 9
10     while(!IsEmpty(Q))
11     {
12         V = Dequeue(Q);
13         T[V].Known=True;
14         for each W adjacent to V
15             if(T[W].Dist == Infinity)
16             {
17                 T[W].Dist = T[V].Dist+1;
18                 T[W].Path = V;
19                 Enqueue(W,Q);
20             }
21     }
22     Free(Q);
23 }

2）有权重的最短路径

有权重的最短路径算法，称之为Dijkstra‘s algorithm。相对于无权重的最短路径算法，有权重的最短路径算法会显得难一点，这是因为权重的引入会使某些路径的加权重长度发生颠倒。

Dijkstra‘s algorithm是一种greedy algorithm。贪婪算法就是在算法的每一个阶段都取最大值。一般情况下，贪婪算法能取得较好的效果。但是贪婪算法是有其缺陷的，也就是说能达到局部最优，而未必能达到全局最优，举个例子，假设要兑换15分的硬币，而硬币有12分的，10分的，5分的，1分的，那么根据贪婪算法，最终的兑换结果为1个12分的，3个一分的；而最优结果应该是一个10分的，一个5分的。（这里我们定义最优为硬币个数最少）。

Dijkstra‘s algorithm的步骤是：

对于每一个阶段，Dijkstra‘s algorithm会在所有未处理的点中选取一个最小距离的点v，然后把给定点s到v的路径定义为最小路径。

下面是一个例子：

对应的表的形式表示：

下面是具体的实现说明：

a）最初的点s=v1；计算s到图中所有点的最短路径。

b）找到v1邻接的点v2，v4，分别标出s到v2，v4的路径长，同时对v1标注T[v1].Known=1。

c）由于v4路径长较小，因此选择v4，找到v4邻接的点v3，v5，v6，v7，标注出他们的路径长；同时对v1标注T[v4].Known=1。

d）现有的所有未处理路径中v2最短，因此处理v2，找到v2邻接的点v4，v5； v2到v4，v5的路径长远大于v4，v5已有的路径长，因此不更新。同时T[v2].Known=1。

e）现有的所有未处理路径中v3，v5最短，处理v3，邻接点为v1，v6，路径分别为7,8；对于v3到v6的距离，因为8<9，因此需要更新；对于v3到v1的距离不需要更新。同时T[v3].Known=1。

f）对于v5，邻接点为v7，v5到v7的路径长为 3+6>5，因此不更新；同时T[v5].Known=1。

g）现在处理v7，v7的邻接点为v6，v7到v6的路径长为5+1<8，因此需要更新；同时T[v7].Known=1。

h）现在处理v6，v6没有邻接点了，因此可以结束了。同时T[v6].Known=1。

伪代码实现：

 1 typedef int Vertex;
 2 typedef int DistType;
 3
 4 struct TableEntry
 5 {
 6     List Header;
 7     int Known;
 8     DistType Dist;
 9     Vertex Path;
10 }
11
12 #define NotAVertex (-1)
13 typedef struct TableEntry Table[NumVertex];
14
15 void InitTable(Vertex Start,Graph G,Table T)
16 {
17     int i;
18     ReadGraph(G,T);
19     for(i=0;i<NumVertex;i++)
20     {
21         T[i].Known = 0;
22         T[i].Dist = Infinity;
23         T[i].Path = NotAVertex;
24     }
25     T[Start].Dist = 0;
26 }
27
28 void Dijkstra(Table T)
29 {
30     Vertex V,W;
31     for(;;)
32     {
33         V = FindSmallestUnknownDistanceVertex();
34         if(V==NotAVertex)
35             break;
36         T[V].Known = Ture;
37         for each W adjacent to V
38             if(!T[V].Known)
39                 if(T[V].Dist+Cvw<T[W].Dist)
40                 {
41                     Decrease(T[W].Dist to T[V].Dist+Cvw);
42                     T[W].Path = V;
43                 }
44     }
45 }

相对于无权重的最短路径，这里权重的更新为Dist = Dist + Cvw；