线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。
使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化
让空间压缩。
在ACM题目中，常用线段树解决不断改变的某段区间的和或最大，最小值等问题。 下面我们以杭电1166题为例子讲解线段树的应用。
敌兵布阵
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768
K (Java/Others)
Total Submission(s): 60090 Accepted Submission(s): 25432
Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.
Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令
Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。
Sample Input
1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Query 1 3 Add 3 6 Query 2 7 Sub 10 2 Add 6 3 Query 3 10 End
Sample Output
Case 1:
6
33
59
线段树通常由三个函数组成，分别是buildtree（建树），query（查询），update（更新）
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MM=50000;//10^6
int num[MM<<2];
void buildtree(int l,int r,int id) //建立编号为l-r的结点 结点编号为id
{
if(l==r)
{
scanf("%d",&num[id]);return;
}
else
{
int mid=(l+r)>>1; //右移 除以(2^1)
buildtree(l,mid,id<<1);
buildtree(mid+1,r,id<<1|1); //乘以2 加1
}num[id]=num[id<<1]+num[id<<1|1];//父节点的值为两个子节点的和
}
int query(int L,int R,int l,int r,int id) //查询 L-R为查询的区间
{
if(L<=l&&R>=r) return num[id]; //找到该区间
else
{
int mid=(l+r)>>1; int res=0;
if(L<=mid) res+=query(L,R,l,mid,id<<1);
if(R>mid) res+=query(L,R,mid+1,r,id<<1|1);
return res;
}
}
void update(int pos,int e,int l,int r,int id) //更新 pos代表位置信息 e则是改变的值 l-r则是代表此时更新的区间 id则是这个区间所在的结点号
{
if(l==r) //找到那个位置
{
num[id]+=e;return;
}
else
{
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid)update(pos,e,l,mid,id<<1); //在左结点这边
else if(pos>mid)update(pos,e,mid+1,r,id<<1|1); //在右结点这边
num[id]=num[id<<1]+num[id<<1|1];
}
}
int main()
{
int t,n,cas,i,x,y;
char str[10];
scanf("%d",&t);
for(cas=1;cas<=t;cas++)
{
printf("Case %d:\n",cas);
scanf("%d",&n);
buildtree(1,n,1);
memset(str,0,sizeof str);
while(scanf("%s",str))
{
if(strcmp(str,"End")==0)break;
else if(strcmp(str,"Add")==0)
{
scanf("%d %d",&x,&y);
update(x,y,1,n,1);
}
else if(strcmp(str,"Sub")==0)
{
scanf("%d %d",&x,&y);
update(x,-y,1,n,1);
}
else
{
scanf("%d %d",&x,&y);
printf("%d\n",query(x,y,1,n,1) );
}
}//while
}//for()
return 0;
}
这里有个注意点:
理论上线段树消耗的空间为2n-1，但是你递归建立的时候当前节点为r,那么左右孩子分别是2*r,2*r+1,此时编译器并不知道递归已结束，因为你的结束条件是在递归之前的，所以编译器会认为下标访问出错，也就是空间开小了，应该再开大2倍。有时候可能你发现开2，3倍的空间也可以AC，那只是因为测试数据并没有那么大。
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