同余与模运算

发现自己还是看书少了，能从书上学到不少东西。

加减乘的模运算：

#include<cstdio>
using namespace std;
int mul_mod(int a,int b,int n){
    a %= n; b %= b;
    return (int)((long long)a * b % n);
}///如果n本身超int，就要用高精度了
int add_mod(int a,int b,int n){
    a %= n; b %= b;
    return (int)((a + b) % n);
}
int subtract_mod(int a,int b,int n){
    a %= n; b %= b;
    return (int)((a - b + n) % n);
}
int main()
{
    return 0;
}

大整数取模：也就是从头到尾，每当数达到大于等于n就对n取模，相当于把大整数转换成1234 = ((1*10+2)*10+3)*10+4的形式

输入大整数，和n

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
    int m;
    char n[100];
    scanf("%s%d",n,&m);
    int len=strlen(n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<len;i++){
        ans=(int)(((long long)ans*10 + n[i] - '0')%m );
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

幂取模：输入a,n,m输出a^n mod m的值，a,n,m<=10^9

简单的代码，时间复杂度为O(n)

int pow_mod(int a,int n,int m)
{
    int ans=1;
    for(int i=0;i<n;i++) ans=(int)((long long)ans*n%m);
}

下面可以利用分治法，减少时间复杂度。时间复杂度减少为O(logn)

int pow_mod(int a,int n,int m)
{
    if(n==0) return 1;
    int x=pow_mod(a,n/2,m);
    long long ans=(long long)x*x%m;
    if(n%2==1) ans=ans*a%m;
    return (int)ans;
}

a^29=(a^14)^2*a, a^14=(a^7), a^3=a^2*a a=1*1*a;

模拟线性方程组：输入a,b,c解方程      ax（三道杠）b(mod n)       ,a,b,n<=10^9

a和b关于模n同余，充要条件a-b是n的整数倍。

方程ax(三道杠)1(mod n)的解称为a关于模n的逆，当gcd(a,n)=1时，该方程组有唯一解，否则无解。

下面程序表示a(三道杠)1(mod n) 的解，要求gcd(a,n)=1

#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int a,n;
    scanf("%d%d",&a,&n);
    int x;
    for(int y=0;;y++)
    {
        if( (1+n*y)%a==0 ){
            printf("x = %d\n",(1+n*y)/a);
            break;
        }
    }

    return 0;
}