引言
机器学习栏目记录我在学习Machine Learning过程的一些心得笔记，涵盖线性回归、逻辑回归、Softmax回归、神经网络和SVM等等，主要学习资料来自Standford Andrew Ng老师在Coursera的教程以及UFLDL Tutorial，Stanford CS231n等在线课程和Tutorial，同时也参考了大量网上的相关资料（在后面列出）。
前言
本文主要介绍逻辑回归的基础知识，文章小节安排如下：
1）逻辑回归定义
2）假设函数（Hypothesis function）
3）决策边界（Decision Boundary）
4）代价函数（Cost Function）
5）优化方法
逻辑回归定义
简单来说，
逻辑回归（Logistic Regression）是一种用于解决二分类（0 or 1）问题的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。比如某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性，以及某广告被用户点击的可能性等。
注意，这里用的是“可能性”，而非数学上的“概率”，logisitc回归的结果并非数学定义中的概率值，不可以直接当做概率值来用。该结果往往用于和其他特征值加权求和，而非直接相乘。
那么逻辑回归与线性回归是什么关系呢？
逻辑回归（Logistic Regression）与线性回归（Linear Regression）都是一种广义线性模型（generalized linear model）。逻辑回归假设因变量 y 服从伯努利分布，而线性回归假设因变量 y 服从 高斯分布。
因此与线性回归有很多相同之处，去除Sigmoid映射函数的话，算法就是一个线性回归。可以说，逻辑回归是以线性回归为理论支持的，但是逻辑回归通过Sigmoid函数引入了非线性因素，因此可以轻松处理0/1分类问题。
机器学习中的任何算法都有着数学基础，有着不同的前提假设和对应的约束。因此如果想要深入的掌握机器学习算法，必须要捡起数学课本，包括统计、概率、微积分等。
假设函数（Hypothesis function）
逻辑回归的假设函数形式如下：
这个函数称为Sigmoid函数，也称为逻辑函数（Logistic function），其函数曲线如下：
从上图可以看到sigmoid函数是一个s形的曲线，它的取值在[0, 1]之间，在远离0的地方函数的值会很快接近0/1。这个性质使我们能够以概率的方式来解释。
一个机器学习的模型，实际上是把决策函数限定在某一组条件下，这组限定条件就决定了模型的假设空间。当然，我们还希望这组限定条件简单而合理。而逻辑回归模型所做的假设是：
这里的 g(h) 是上边提到的 sigmoid 函数，相应的决策函数为：
选择0.5作为阈值是一个一般的做法，实际应用时特定的情况可以选择不同阈值，如果对正例的判别准确性要求高，可以选择阈值大一些，对正例的召回要求高，则可以选择阈值小一些。
决策边界（Decision Boundary）
决策边界，也称为决策面，是用于在N维空间，将不同类别样本分开的平面或曲面。
首先看Andrew Ng老师课程上的两张图：
线性决策边界：
决策边界：
非线性决策边界：
决策边界：
上面两张图很清晰的解释了什么是决策边界，决策边界其实就是一个方程，在逻辑回归中，决策边界由theta’X=0定义。
要注意理解假设函数和决策边界函数的区别与联系。决策边界是假设函数的属性，由假设函数的参数决定。
在逻辑回归中，假设函数（h=g(z)）用于计算样本属于某类别的可能性；决策函数（h=1(g(z)>0.5)）用于计算（给出）样本的类别；决策边界（θ^Tx=0）是一个方程，用于标识出分类函数（模型）的分类边界。
代价函数（Cost Function）
线性回归中的代价函数：
线性回归中的代价函数看上去很好理解，但却不能用于逻辑回归，原因如下：
如果我们使用这个代价值形式，J(θ)会变成参数θ的非凸函数，因为在逻辑回归中，H(θ)是一个Sigmoid函数，其曲线如下：
该函数是一个非凸函数，有很多局部最优值。如果你把梯度下降法用在一个这样的函数上，不能保证它会收敛到全局最小值。
相应地我们希望我们的代价函数J(θ)是一个凸函数，是一个单弓形函数，如下：
如果对它使用梯度下降法，我们可以保证梯度下降法会收敛到该函数的全局最小值。
由于H(θ)是一个sigmoid函数，导致J(θ)成为一个非凸函数，因此，我们需要另外找到一个不同的代价函数，它是凸函数，使得我们可以使用很好的算法，如梯度下降法，而且能保证找到全局最小值。
因此，我们采用如下的形式计算样本的代价值：
逻辑回归中的代价函数：
补充资料：极值 和 最优化问题
所谓极值，简单地说，是指一群同类量中的最大量(或最小量)．对于极值问题的研究，历来被视为一个引人入胜的课题．波利亚说过：“尽管每个人都有他自己的 问题，我们可以注意到，这些问题大多是些极大或极小问题．我们总希望以尽可能低的代价来达到某个目标，或者以一定的努力来获得尽可能大的效果，或者在一定 的时间内做最大的功，当然，我们还希望冒最小的风险。我相信数学上关于极大和极小的问题，之所以引起我们的兴趣，是因为它能使我们日常生活中的问题理想 化．”波利亚，《数学与猜想》，第一卷，第133页我们将看到，许多实际问题和数学问题，都可归结为形形色色的极值问题，才能得到统一地解决．
优化方法
在逻辑回归中，依然使用梯度下降法对代价函数进行优化，完整形式如下：
注意：
逻辑回归和线性回归问题中，梯度下降算法的形式看上去是一致的（更新参数的规则看起来基本相同），但实际上两者是完全不同的，因为假设函数是不同的，需要特别注意这一点。
其向量化实现（vectorized implementation）如下：
