莫队，利用可以快速地通过一个问题的答案得到另一问题的答案这一特性，合理地组织问题的求解顺序，将已解决的问题帮助解决当前问题，来优化时间复杂度。
典型用法：处理静态（无修改）离线区间查询问题。
线段树也是处理区间问题的一个有力工具，它和莫队算法各有特点：
线段树可以支持修改，并且单次操作时间复杂度一般为O(log)，支持在线，但是要求可以进行快速的区间合并操作，两个区间如不能快速合并（f(n)*O(log)>O(n)），则用线段树就没有什么实际价值了（暴力都比它块）
莫队算法可以解决某些线段树不能解决的静态离线问题，但它要求可以快速地从一个答案得到另一个答案。
对于区间问题，假如我们得到了区间[l,r]的答案，能通过它用O(1)的时间得到[l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]的答案，那么我们将[l,r]看成二维平面上的点，两个点的距离用哈密顿距离表示，一个不错的想法是找到图的最小生成树，然后暴力推出一个点，其它点从它延伸过去就行了，时间复杂度是距离和加上暴力的那个点花的时间。
这道题除了上面的做法，还可以分块，如果分成n^0.5块，可以做到O(n^1.5)的复杂度。
做法是先将原颜色序列分成根号n块，然后将询问先按左端点排序，对于每一块的询问再按右端点排序（都是升序）。
每次计算一个左端点在一个块中的询问，先暴力这个区间的第一个询问，然后后面的每个询问从它前一个询问推（具体看代码）
时间复杂度可以这么看：
排序O(nlogn)
对于每个询问，它从前一个推过来，因为它们在同一块中，前端点改变最多O(n^0.5)次，有O(n)个询问，所以前端点变化O(n*n^0.5)次
对于每一段，后端点变化是O(n)的，而最多有O(n^0.5)段，所以后端点变化O(n^0.5*n)次
所以从一个[l,r]推到它四个相邻的点的次数是O(n^1.5)，而转移是O(1)的，所以总的复杂度是O(n^1.5)。
不论是分块还是最小生成树，都是想用最少的转移和最少的暴力将所有询问解决。
不会写最小生成树的做法。这个是分块，感谢proverbs
1 /**************************************************************
2 Problem: 2038
3 User: idy002
4 Language: C++
5 Result: Accepted
6 Time:836 ms
7 Memory:2972 kb
8 ****************************************************************/
9
10 #include <cstdio>
11 #include <cmath>
12 #include <algorithm>
13 #define maxn 50010
14 using namespace std;
15
16 typedef long long lng;
17
18 lng gcd( lng a, lng b ) {
19 return b ? gcd(b,a%b) : a;
20 }
21 struct Query {
22 int l, r, idx;
23 lng ans[2];
24 Query(){}
25 Query( int l, int r, int idx ) : l(l), r(r), idx(idx) {}
26 void set( lng sum ) {
27 lng len = (r-l+1);
28 lng a = sum, b = len*(len-1)/2;
29 lng c = gcd(a,b);
30 if( c ) {
31 ans[0] = a/c;
32 ans[1] = b/c;
33 } else {
34 ans[0] = 0;
35 ans[1] = 1;
36 }
37 }
38 };
39 bool cmpl( const Query & a, const Query & b ) {
40 return a.l < b.l;
41 }
42 bool cmpr( const Query & a, const Query & b ) {
43 return a.r < b.r;
44 }
45 bool cmpid( const Query & a, const Query & b ) {
46 return a.idx < b.idx;
47 }
48 struct Range {
49 int l, r;
50 Range(){}
51 Range( int l, int r ) : l(l), r(r) {}
52 };
53
54 int n, m;
55 int clr[maxn], cnt[maxn];
56 int tot;
57 Range rng[maxn];
58 Query qry[maxn];
59
60 void partition() {
61 int len = (int)ceil(sqrt(n));
62 tot = n/len;
63 for( int i=1; i<=tot; i++ ) {
64 rng[i].l = rng[i-1].r+1;
65 rng[i].r = rng[i-1].r+len;
66 }
67 if( rng[tot].r < n ) {
68 tot++;
69 rng[tot].l = rng[tot-1].r+1;
70 rng[tot].r = n;
71 }
72 }
73
74 void work() {
75 sort( qry+1, qry+1+m, cmpl );
76 int s, t;
77 lng sum;
78 s = t = 1;
79 for( int i=1; i<=tot; i++ ) {
80 while( s<=m && qry[s].l<rng[i].l ) s++;
81 while( t<=m && qry[t].l<=rng[i].r ) t++;
82 if( s>m || qry[s].l>rng[i].r ) continue;
83 sort( qry+s, qry+t, cmpr );
84 sum = 0;
85 for( int j=qry[s].l; j<=qry[s].r; j++ )
86 sum += cnt[clr[j]]++;
87 qry[s].set( sum );
88 for( int q=s+1; q<t; q++ ) {
89 if( qry[q].l > qry[q-1].r ) { // ( ) [ ]
90 for( int j=qry[q-1].l; j<=qry[q-1].r; j++ )
91 cnt[clr[j]]--;
92 sum = 0;
93 for( int j=qry[q].l; j<=qry[q].r; j++ )
94 sum += cnt[clr[j]]++;
95 } else if( qry[q].l <= qry[q-1].l ) { // [ ( ) ]
96 for( int j=qry[q].l; j<qry[q-1].l; j++ )
97 sum += cnt[clr[j]]++;
98 for( int j=qry[q-1].r+1; j<=qry[q].r; j++ )
99 sum += cnt[clr[j]]++;
100 } else { // ( [ ) ]
101 for( int j=qry[q-1].l; j<qry[q].l; j++ )
102 sum -= --cnt[clr[j]];
103 for( int j=qry[q-1].r+1; j<=qry[q].r; j++ )
104 sum += cnt[clr[j]]++;
105 }
106 qry[q].set( sum );
107 }
108 for( int j=qry[t-1].l; j<=qry[t-1].r; j++ )
109 cnt[clr[j]]--;
110 }
111 }
112
113 int main() {
114 scanf( "%d%d", &n, &m );
115 for( int i=1; i<=n; i++ ) scanf( "%d", clr+i );
116 for( int i=1,l,r; i<=m; i++ ) {
117 scanf( "%d%d", &l, &r );
118 qry[i] = Query( l, r, i );
119 }
120 partition();
121 work();
122 sort( qry+1, qry+1+m, cmpid );
123 for( int i=1; i<=m; i++ )
124 printf( "%lld/%lld\n", qry[i].ans[0], qry[i].ans[1] );
125 }
nbut 1457:
询问一个区间中每种颜色的数量的立方和
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <cmath>
4 #include <algorithm>
5 #define maxn 100010
6 using namespace std;
7
8 typedef long long lng;
9
10 struct Qu {
11 int l, r, id;
12 };
13 bool cmpl( const Qu & a, const Qu & b ) {
14 return a.l < b.l;
15 }
16 bool cmpr( const Qu & a, const Qu & b ) {
17 return a.r < b.r;
18 }
19
20
21 int n, m;
22 int idx[maxn], itot;
23 int clr[maxn];
24 lng cnt[maxn];
25 int lx[maxn], rx[maxn], stot;
26 Qu qu[maxn];
27 lng ans[maxn];
28
29
30 void partition() {
31 int len = (int)ceil(sqrt(n));
32 stot = n/len;
33 rx[0] = 0;
34 for( int i=1; i<=stot; i++ ) {
35 lx[i] = rx[i-1]+1;
36 rx[i] = rx[i-1]+len;
37 }
38 if( rx[stot]!=n ) {
39 stot++;
40 lx[stot] = rx[stot-1]+1;
41 rx[stot] = n;
42 }
43 }
44 void makeid() {
45 sort( idx+1, idx+1+n );
46 int tot = unique( idx+1, idx+1+n ) - idx;
47 for( int i=1; i<=n; i++ )
48 clr[i] = lower_bound( idx+1, idx+tot, clr[i] ) - idx;
49 }
50 lng cube( lng a ) {
51 return a*a*a;
52 }
53 void update( lng &sum, int c, int delta ) {
54 sum -= cube(cnt[c]);
55 cnt[c] += delta;
56 sum += cube(cnt[c]);
57 }
58 void work() {
59 sort( qu+1, qu+1+m, cmpl );
60 for( int i=1,s=1,t=1; i<=stot; i++ ) {
61 memset( cnt, 0, sizeof(cnt) );
62 while( s<=m && qu[s].l<lx[i] ) s++;
63 while( t<=m && qu[t].l<=rx[i] ) t++;
64 sort( qu+s, qu+t, cmpr );
65
66 lng sum = 0;
67 for( int j=qu[s].l; j<=qu[s].r; j++ )
68 update( sum, clr[j], +1 );
69 ans[qu[s].id] = sum;
70 for( int q=s+1; q<t; q++ ) {
71 if( qu[q].l<=qu[q-1].l ) {
72 // [ ( ) ]
73 for( int j=qu[q].l; j<qu[q-1].l; j++ )
74 update( sum, clr[j], +1 );
75 for( int j=qu[q-1].r+1; j<=qu[q].r; j++ )
76 update( sum, clr[j], +1 );
77 } else if( qu[q].l>qu[q-1].r ) {
78 // ( ) [ ]
79 for( int j=qu[q-1].l; j<=qu[q-1].r; j++ )
80 cnt[clr[j]]--;
81 sum = 0;
82 for( int j=qu[q].l; j<=qu[q].r; j++ )
83 update( sum, clr[j], +1 );
84 } else {
85 // ( [ ) ]
86 for( int j=qu[q-1].l; j<qu[q].l; j++ )
87 update( sum, clr[j], -1 );
88 for( int j=qu[q-1].r+1; j<=qu[q].r; j++ )
89 update( sum, clr[j], +1 );
90 }
91 ans[qu[q].id] = sum;
92 }
93 }
94 }
95 int main() {
96 scanf( "%d", &n );
97 for( int i=1; i<=n; i++ ) {
98 scanf( "%d", idx+i );
99 clr[i] = idx[i];
100 }
101 scanf( "%d", &m );
102 for( int i=1; i<=m; i++ ) {
103 scanf( "%d%d", &qu[i].l, &qu[i].r );
104 qu[i].id = i;
105 }
106 makeid();
107 partition();
108 work();
109 for( int i=1; i<=m; i++ )
110 printf( "%lld\n", ans[i] );
111 }
时间： 2024-10-10 03:01:06