取(m堆)石子游戏
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Problem Description
m堆石子,两人轮流取.只能在1堆中取.取完者胜.先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出怎样取子.例如5堆 5,7,8,9,10先取者胜,先取者第1次取时可以从有8个的那一堆取走7个剩下1个,也可以从有9个的中那一堆取走9个剩下0个,也可以从有10个的中那一堆取走7个剩下3个.
Input
输入有多组.每组第1行是m,m<=200000. 后面m个非零正整数.m=0退出.
Output
先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出先取者第1次取子的所有方法.如果从有a个石子的堆中取若干个后剩下b个后会胜就输出a b.参看Sample Output.
Sample Input
2
45 45
3
3 6 9
5
5 7 8 9 10
0
Sample Output
No
Yes
9 5
Yes
8 1
9 0
10 3
Author
Zhousc
Source
通常的Nim游戏的定义是这样的：
有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。
结论：
必败状态：a1^a2^......^an=0
必胜状态：a1^a2^.......^an=k (其中k不为零)
证明：
terminal position只有一个，就是全0，异或仍然是0。
对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai‘后满足a1^a2^...^ai‘^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai‘=ai^k，此时a1^a2^...^ai‘^...^an=a1^a2^...^an^k=0。
对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai‘后满足a1^a2^...^ai‘^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai‘^...^an可以得到ai=ai‘。所以将ai改变成ai‘不是一个合法的移动
所以在这道题中如果当前是必胜的话，那么就要下一个移动的人必败，所以就要改变一个ai变成ai‘使得原本的a1^...ai^...^an!=0变成a1^...ai‘...^an=0
可以利用ai^k<ai‘ 判断
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<ctype.h>
#define LL __int64
using namespace std;
const int MAXN=200000+50;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double EPS=1e-9;
int dir4[][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};
int dir8[][2]={{0,1},{1,1},{1,0},{1,-1},{0,-1},{-1,-1},{-1,0},{-1,1}};
int dir_8[][2]={{-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2},{-1,-2},{-2,-1}};
int a[MAXN];
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n) && n)
{
int sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
sum^=a[i];
}
if(sum==0) printf("No\n");
else
{
printf("Yes\n");
for(int i=0;i<n;i++)
{
int s=sum^a[i];
if(s<a[i])
printf("%d %d\n",a[i],s);
}
}
}
return 0;
}