HYSBZ 1010 玩具装箱toy （决策单调DP）

题意：

　　有n个玩具，要将它们分为若干组，玩具同宽同高，但长度C可能不同。给出n个玩具的摆放顺序，连续的任意多个玩具都可以成为一组。区间[i,j]成为一组的费用是cost=(j-i+Sigma(C_k)-L)²且i<=k<=j。给定n和L和每个玩具的长度，问分组后费用总和是多少? (n<=5*10⁴)。

思路：

　　注：费用并非是直线的函数，每个组的总长度+玩具数量越接近L越好。

　　转移方程：dp[i]=min( dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j+1-L)²  )。sum[i]表示前i件玩具长度的总和，0<j<i，（i-j+1）表示与i同组的玩具个数。

　　根据方程是可以推出这题是满足决策单调性的。以下是抄来的证明，稍微修改：

　　令f[i]=sum[i]+i, c=1+L，则dp[i]=min( dp[j]+(f[i]-f[j]-c)²  )

　　1.证明决策单调性

　　假设在状态i处的k决策优于j决策，且j<k，那么 dp[k]+(f[i]-f[k]-c)²<=dp[j]+(f[i]-dp[j]-c)²。

　　而对于i后面的某个状态t，设f[t]=f[i]+v，先不管v是多少。

　　要证明：dp[k]+(f[t]-f[k]-c)²<=dp[j]+(f[t]-f[j]-c)²

　　只要证(将f[t]=f[i]+v代入)：dp[k]+(f[i]+v-f[k]-c)²<=dp[j]+(f[i]+v-f[j]-c)²

　　只要证dp[k]+(f[i]-f[k]-c)²+2v*(f[i]-f[k]-c)+v²  <=  dp[j]+(f[i]-f[j]-c)²+2v*(f[i]-f[j]-c)+v²。

　　由于假设，所以只要证： 2v*(f[i]-f[k]-c)<=2v*(f[i]-f[j]-c)。

　　即证：f[k]>=f[j]（显然）

　　证明完毕