贪婪算法最优解问题2

1. 问题

如果硬币的面值是{1, 1*c, 2*c, …, k*c}， 则贪婪算法总是用最少的硬币找零。

如《离散数学及其应用》书中贪婪算法的反例：

有面值1, 10, 25的硬币，找零30。

贪婪算法的解：5c₀ + 0c₁ + 1c₂ =  5*1 + 0*10 + 1*25 = 30，共需6枚硬币

而最优解是：0c₀ + 3c₁ + 0c₂ =  0*1 + 3*10 + 0*25 = 30，只需3枚硬币

但如果补齐中间缺失的硬币面值：{1, 5, 10, 15, 25},

那么贪婪算法的解是 ： 1*25 + 1*5 = 30，只需2枚硬币，依然是最优解之一（因为还有15*2也是最优解）

2. 规律

因为最大的25面值的硬币不再满足《贪婪算法最优解问题》问题中的条件，所以无法用该证明方法证明，思路不通时我们先找找满足问题条件的找零方案，看能不能找出一些规律，然后再证明这些规律找出一些推论来间接证明

假设有面值{1, 3, 6, 9}的硬币，当需找零S的最优贪婪算法找零方案：

从表中可以看出：

1> 除了最大面值和1面值的硬币以外，其他面值的硬币最多只有1个

2> 1面值的硬币最多只有2个

3. 推论证明

3.1 除了最大面值和1面值的硬币以外，其他面值的硬币最多只有1个

最优找零公式：S = m₀1 + m₁1c + m₂2c + … + m_kkc

S = m₀1 + (m₁1 + m₂2 + … + m_kk)c = m₀1 + gc  = m₀ + gc (m₀ < c, g >= 0)

从公式中，我们可以自觉感受到S中，一定有m₀个面值为1的硬币，但从严谨的数学逻辑出发，我们还是证明一下

3.2 假设最优找零公式 S = m₀ + gc (m₀ < c, g >= 0)，有另一种最优找零公式 S1 = x + hc (x < c, x != m₀, g >= 0)

m₀ + gc = x + hc

(m₀ - x) = (h-g)c 或(x -m₀) = (g-h)c （2个形式的证明都是一样的）

∵x != m₀

∴(h-g)c != 0

∴(m₀ - x) = nc (n > 0)

∴m₀ = nc + x > c (n > 0)

∵m₀大于c时，一定可以将c个m₀转化为一个面值为c的硬币，转化后的总数量必然小于m₀

∴m₀ = nc + x不成立，假设不成立

∴最优找零公式S中，一定有m₀个面值为1的硬币

3.3 已知S中m₀数量固定，所以只要找出S = gc 的最优找零数量，即是S的最优找零方案，我们先尝试找一找各种情况下的方案

S = gc = (m₁1 + m₂2 + … + m_kk)c

去掉c， g = m₁1 + m₂2 + … + m_kk

3.3.1 当g <= k时，g = x (x∈{1, 2, …, k})，用一枚面值x的硬币即是最优解

3.3.2 当k< g <= 2k时，g = k + x (x∈{1, 2, …, k})，只需2枚硬币即可，因为1枚硬币最多只能表达到k的面值，而g > k，所以g = g = k + x即是最优解

3.3.3 当2k< g <= 3k时，g = 2k + x (x∈{1, 2, …, k})，只需3枚硬币即可，因为用2枚硬币最多只能表达到2k的面值，而g > 2k，所以g = 2k + x即是最优解

也就是说，对于任意一个g，总是可以表达为 g = nk + x 这种形式（如我们所有的数都可以用 (n10 + x)(0<= n, 0< x < 10)来表示），且这种形式的找零方案是最优的（使用n + 1枚硬币）

3.4 证明，g = m₁1 + m₂2 + … + m_kk = nk + x (0 < x < k) 时，没有一种其他的找零方案使用的硬币数 <= n

反证，假设有一种找零方案g1 = m₁1 + m₂2 + … + m_kk，使用的硬币数 <= n

∵n枚kc面值的的硬币总数总是大于或等于n枚由{1c, 2c, …, kc}组成的硬币总数

∴g1 <= nk < nk + x = g

∴g1 != g

∴不存在这一的找零方案g1

∴g = nk + x这样的找零方案总是最优的

∴g总是用最大数量的k，和一枚其他数量的x去找零，这完全满足贪婪算法的找零方案

∴S = gc 的最优找零数量是贪婪算法

∴S = m₀ + gc 的最优找零方案是贪婪算法