现代数学研究什么？

在中世纪，数学研究的对象多半局限于具体的数量与空间关系，但是，从十九世纪开始，数学家们逐渐转向数学研究过程内过部所发生的事情，而对于数学究竟是什么，兴趣不大了。现在，如果你追问一个数学家，数学研究什么？他会对你笑一笑，说声“抱歉”，或者，随便用几句话搪塞你了事。

拒绝抽象思维就等于拒绝数学。如果你拒绝思考定义在区间[a,b]上所有函数f构成的抽象集合“F”（F仅仅是一个大写字母），那么，你就不可能接受抽象数学空间理论的研究（比如，泛函分析）。

我在大学时代，为了函数的定义方式与授课老师发生争执的情景，至今记忆犹新。当时，我就是不愿意接受抽象的函数定义，也不愿意思考“所有的函数”构成的集合的含义，认为这一切都是“空想”、“虚幻”，没有实质意义。

现代数学的定义有很多种类，它们分别强调数学理论的不同方面，比如，”Some
of these definitions emphasize（强调）
the deductive（演绎）
character of much of mathematics, some emphasize its abstractness（抽象性）,some
emphasize certain topics within mathematics“（数学内部的某些论题）。

本文想说的主要意思是，现代数学研究的对象多半属于数学高层次内部思维的结果，没有具体实物关系背景。拒绝抽象思维就等于拒绝接受现代数学知识。停留在几何、代数、三角时代，不算当代英雄！

袁萌
6月29日