变换作为一种工具来分析信号和LTI系统。
Z变换是处理离散信号的，拉普拉斯是处理连续信号的。
Z域就是Z的复平面。
Z变换只是一种信号的表达形式。
某个时间序列和X（z)以及收敛域相对应。
表3.1就是对前面的完全总结：
有限时间的因果，反因果，和双边信号。对应收敛域：除掉0,除掉正无穷，除掉0和正无穷。
无限时间的因果，反因果，和双边信号。对应收敛域：圈外，圈内，环。
单边的Z变换是为因果信号准备的。公式化的逆Z变换。
表3.2又是对3.2节的完全总结：
每一种Z变换分两块考虑，Z域变换以及收敛域。
线性：表达式easy，收敛域至少是两者的交集。
时移：移动-k，就乘以z^-k 只考虑新的项对原来的影响
在Z域缩放。easy easy
时间翻转 easy easy在后面的相关函数里有应用到
共轭easy 不变
时域的微分：easy 不变
卷积：相当于Z域相乘。至少两个定义域相交
相关：easy easy
初值定理。
相乘与帕塞瓦尔。
特殊函数的Z变换就记住最特殊的那个即可。
收敛域内不可能包含任意一个极点。
一个多项式的系数是实系数的话，它的根是实根或复数共轭根。这也就解释了3.3.2讨论的其实是因果实信号。
单实极值的极值点可能有6个位置。半径与1比决定了是增加还是减小，在正负半轴决定了一直正还是一正一负。
双阶实值因果信号，因为阶数的变化会与单阶有差别。
复共轭单阶因果信号与阻尼的图像类似。
双阶的在半径为1处就开始扩张了。
系统函数是冲激响应的Z变换。系统函数有不为0的极点是IIR，只有全0系统是FIR。
Z的逆变换有三种方法：第一种是轮廓积分（留数法），第二种是幂级数拓展，第三种是部分分式拓展
轮廓积分法：
首先给出了柯西积分定理：C是闭合曲线，在C内部f(z)导数存在，且f(z)在z=z0处没有极点。等号右边的叫做留数（留在曲线C里面的数）。拓展到更一般的情况，被积函数看为f(z)/g(z)，而f(z)在轮廓内没有极点，而g(z)在C内有n个离散的一阶极点3.4.4那里就没看懂了。。有机会补复变函数的基础，不过它的结论应该在3.4.6，先背下来即可。例子3.4.1的n=-2的情况也没看懂。。。
基于级数拓展的逆变换：
直接用长除法，但要根据因果与非因果来确定长除的顺序。
部分分式法：一个是要求所有极点不同，另外一个是复共轭极点产生复共轭系数。
后面有点乱，还是先做题比较好。
3.5有理Z变换是它可以写成两个多项式之比的形式，大多数实际信号都存在有理Z变换。而系统函数由于极点，零点的形式分子分母也是多项式之比。相乘之后的Y（z)依然是Z的多项式之比。
假设X（z)与H（z)的极点各不相同，而且不存在零点消除的情况，且所有极点都是单阶极点。这样就可以由部分分式拓展法得到逆Z变换。由H（Z)产生的极点的函数叫做系统的自然响应，而每个极点前面的系数Ak是反映输入对
系统的影响。另一部分就是受迫响应，当然系数就是系统对输入的影响。
因为系统的自然响应是要考虑输入对系统的影响的，所以自然响应与零输入响应有区别。
195上面多重极点（可能是一方，也可能是双方造成的）的对应函数
因为前面假设输出信号做逆Z变换时是因果信号，可以看出求得是零状态响应（初始松弛），也就是灵状态响应分为自然响应和受迫响应。过渡态响应的意思是n趋近于无穷大时，值趋向于0了。
系统要维持稳态响应，输入必须一致跟住。例子3.5.1就是就是找极点，0.5肯定是过渡态，模为1就是稳态。
LTI是因果的，当且仅当收敛域在圆外侧（包括z=无穷）
LTI是稳定的，当且仅当系统的收敛域包括单位圆。更具体的，因果LTI系统是BIBO的，当且仅当所有极点都在单位圆内部。
极点零点消除，就相当于约分。但在实际工程中应用时，无法达到完美的极点零点消除。后面的两个例子也体现了其实质就是约分。
系统的极点在单位圆上也是稳定的，但如果输入的极点也恰好在单位圆的同样位置上，就不稳定了，因为多重极点会产生n。
3.6单边的Z变换
因为单边Z变换只考虑大于等于0部分的信息，所以两个信号大于0部分的信号一样，单边Z变换就相同。反因果信号单边Z变换就一个下场，0.
因果信号的单边Z变换与Z变换相同。单边Z变换是时移操作其实很好理解，只是表达式有点琐碎。时延负部信号有机会顶上，提前，进入负部的都被杀光
差分方程的解是要考虑初始条件，而单边Z变换的时移操作就把初始条件全给拯救了。
初始条件影响的是系统自然响应的系数，并不会产生新的极点。且初始条件对受迫响应没有影响。
3.1根据Z变换定义直接计算，计算收敛域时，主要依照等比因子的绝对值小于1来求。
3.2（a)拆成u(n)与n*u(n)，nx(n)不改变ROC。（b)直接套在频域完成缩放的性质，收敛域会变化。（c)经典 easy（d)与（e)是一类，我做的是e，从cos开始一直推三步，注意有一步会改变ROC。（f)e会了f就会了
（g)n^2x(n)可以看成二次求导，且每次不改变ROC（h)easy
在求零点和极值点的时候要把子式子合并成一个式子，否则一个子式子的零点可能不是整个式子的零点。另外判断零点和极值点的时候把分号上下化成正项的式子。
零点和极点：（h)零点消除要考虑，求解方程根的时候把z看成是复数。g答案应该是错的。f打开虽然有四种情况，但可以合并成两种。剩下的都easy。
3.3easy不过也看出来两种基本的变换在proakis的书里面是多么重要。
3。4a：z域微分不改变ROC b:两次微分 c,easy d,e easy f定义
3.5easy 左边，右边，有限时间的双边信号
3.6有hint的话这题就很easy了，类似于由阶跃响应得到冲激响应。
3.7直接Z变换再相乘， x1的Z变换在3.3中求过了。
3.8 a与3.6重复了，b可用线性做，也可以用时域卷积等于Z域相乘来做。
3.9用性质一下就出来了
3.10可以普通方法，也可以像答案那样先设计一个偶数项的选择函数，
3.11用长除法求Z的反变换时用分子除以分母，正着除是因果，反着除是反因果。
3.12用部分分式拓展法可以求解，告诉因果信号是要做Z的反变换时候用。
3.13这道题是值得回味的一道题，答案的思想不错
3.14查了一下Z的反变换方法，总结在这里
幂级数展开法：把X（z)展开为幂级数的形式，对应的系数就是原来信号。既可以用特殊的函数，比如e^x展开成幂级数，也可以用长除法得到幂级数展开式，一般遇到的就这两种。
部分分式展开法：一般要求分子的最高正项小于等于分母的最高正项。极点中只有单实极点，很好拆。共轭单极点把那两项合并在一起呈现。多重极点逐个求导。
留数法（反演积分法）：根据ROC的三种情况有三种不同的计算方法。极点都在C内，留数正。极点都在外，为负。有内有外，分正负两部分讨论。还要注意的就是单极点与多阶极点的留数计算方法的不同。
http://jpkc.nwpu.edu.cn/jp2005/06/xinhaoxitong/ch8/%E7%AC%AC%E4%B8%89%E8%8A%82.htm
a，分母的最高次项不低于分子的最高次项，用部分分式展开法。
a,b easy
c 用性质一下得到，但我却用了最笨的方法。。。就当练习基本功了。。。
deasy e没有背三角函数的Z变换，不过其实不用也能做，就是麻烦点。
f用分式展开法
h根据书上的标准式子可以看出零零点/极点，与其余的零点或极点是有一定差别的。另外对于特殊角的三角函数，不妨先化成一般形式。
ieasy
j,先化成z为正项的形式，然后分开，分别去求。
3.15 有三种可行域，双因果，双反因果，一因果一反因果。答案第二个明显有误
3.16 最后产生的信号肯定是因果信号，所以做逆变换时候很容易确定。c里面的cospin就是（-1）^n。
3.17终值定理的证明我是没想出来，看答案也是勉强明白，第一次看到这种证明方式。只能背下来，以后遇到类似的证明再理解。
3.18
a，用共轭的性质直接算
b,c由a很容易得到，但c书上少了个虚部。
d easy有些东西可以和3.13串联
e,左右两边先化成同样的形式，再串成一起。
3.19用Z域的微分公式直接做
3.20加一个常数G。
3.21实系数拥有实根很正常，假设存在一个复数根，整体取共轭，就可以得到另一个复数根。数学中，积分和取共轭符号时常会渗入到最需要的地方。
3.22X1（z)*X2(z)是卷积的Z变换，不是卷积的直接结果！
3.23 由泰勒公式进行幂级数展开。0的阶乘是1.
3.24/25/26 easy
3.27按照书上的来。不过积分和求和符号互换我记得要满足收敛条件。
3.28共轭前面有证过，按照书上证明普通乘积的过程比较容易得到趴赛娃儿定理
3.29圈C内没有极点，值直接判定为0
3.3030与50是一样，关键一步联想是若x1是实系数多项式的一个根，so is x1的共轭。这样就把要求的问题别为原来的倒数了，剩下就easy了
3.32利用Z变换求解递归式子比较方便。
3.34Z变换说到底是级数之和
3.35
Z变换的式子里有Z^7这种一律退回到时域的时移去考虑。
g里面（-1）^n没有收敛域。答案是说周期信号没有收敛域。给出了另一种方法，但偶没懂。
h,零状态响应的意思是y(n)是因果信号，如果有初始条件的话还需要考虑初始条件的影响。
3.36easy
3.37应该是不稳定的，因为在单位圆上有极点，这样单位圆就不会在收敛域内了。而稳定系统的充要条件是收敛域必须包括单位圆。
3.38 easy
3.39 easy e^jxita就是给复数转个角
3.40最小内存的方法肯定是第二种方法，因为会有移位寄存器的合并。
3.41求稳定域的方法，同样是答案比书上的要好，分别讨论根存在与否的情况。其实书上的那个等价条件现在我都没搞懂。。
3.42求0输入响应按照答案的方法更好，把X（z)看成是0.
3.43easy
3.44 a会化简1/（1+z)的形式
b正常解法
3.45涉及到响应（response）的都是和时域相关的。
3.46第一个问就是让人求那个G。极点都在圈内，变换到时域是极点的n次方，n很大时趋于0的，系统是稳定的。系统的实现比例交叉对乘，把Y（z)前面的系数换成是1.
3.47因果信号才行
3.48就是阶跃信号的单边Z变换
3.49就是一些简单的单边时移变换，会把原来没考虑进来的因果信号加上。
3.50的意思是中心对称，偶函数其实就是2*0-n=-n与n处的值对称
3.51 c用枚举即可
3.52easy
3.53感觉书上的hint就是answer....
3.54书上看懂了，这里就懂了
3.55 easy
3.56前面基本是用部分分式做的，这里就用留数法。个人觉得两种方法在运算上有相似之处。
3.57eaSY
3.58
1，ROC的边界是由极点所对应的半径决定的。
2，当n=-18的时候，C内只有一个极点0.5，把0.5带入即可。
先吐槽下答案真的是仅供参考。
反因果信号在0处是可以有值的。
H（Z)只有在全0系统才是FIR的原因是如果有非0的极点，在n趋向于无穷时还是会有值，只不过值很小，趋向于0.
轮廓积分法求逆Z变换时，如果在C内没有极点，直接判定为0.