LeetCode 第 371 题 （Sum of Two Integers）

Calculate the sum of two integers a and b, but you are not allowed to use the operator + and -.

Example:

Given a = 1 and b = 2, return 3.

不用加减法计算两个整数的和。这道题其实是考察一些基本的布尔代数知识。我们知道，二进制表示时：

0 + 0 = 00

1 + 0 = 01

0 + 1 = 01

1 + 1 = 10

所以，两个二进制整数 a 和 b，如果相加的过程中如果没有进位，那么 a+b=a?b，这里 ? 表示异或。那么 a+b 的进位为多少呢，只有 1+1 时才会出现进位。所以 a+b 的进位可以表示为 2×(a & b)，这里 & 表示两个数字的按位与运算。之所以要乘以 2，是因为要向上进一位。

所以有如下关系：

如果 a,b 时任意的二进制整数。

设

x0=a?bc0=2×(a & b)

那么有

a+b=x0+c0

并且c0 的最低位为 0。

这个过程再进行一遍：

x1=x0?c0c1=2×(x0 & c0)

那么有：

a+b=x0+c0=x1+c1

并且 c1 的最后两位都是 0。 这样进行 N 此后，cN 的后 N+1 就都是 0 了。

那么，只要 a,b 是有限位的整数，那么必然可以经过有限次（M次）的这种变换，使得 cM 为 0。这时：

a+b=cM+xM=xM

这个过程很容易写成递归程序：

int getSum(int a, int b)
{
    if(a == 0) return b;

    int x = a ^ b;
    int c = (a & b) << 1;
    return getSum(c, x);
}

当然，也可以用也可以不用递归：

int getSum2(int a, int b)
{
    while(a)
    {
        int x = a ^ b;
        a = (a & b) << 1;
        b = x;
    }
    return b;
}