初等数论学习笔记二：最大公因数与辗转相除法

最大公因数的定义：a1,a2,...,an(n>=2)是n个整数，d是所有ai的因数，称d是a1,a2,...,an的公因数，在它们的公因数中取最大的，称为a1,a2,...,an的最大公因数，记作(a1,a2,...,an)。

(a1,a2,...,an)=d <=>
(1)d|ai, i=1,...,n (ai=d*bi)
(2)若d‘|ai,i=1,...,n，则d‘<=d
(2‘)若d‘|ai,i=1,...,n，则d‘|d且d>0
(2)<=>(2‘)证：若d‘不能整除d，质因数p|d‘,p不能整除d，则p*d>d还是公约数，这就造成了矛盾。
=> d=d‘*q
若(a1,a2,...,an)=1，称a1,a2,...,an互质；
若a1,a2,...,an任意两个都互质，则称a1,...,an是两两互质的。
若a1,...,an是两两互质的，则(a1,...,an)=1，反之不对。
如：(2,3,6)=1 , (2,6)=2 != 1
(0,0)：0,0的公约数是任何整数。
定理1：若a1,a2,...,an不全为零，则它们的最大公约数存在。
证：不妨设a1!=0，设d是a1,a2,...,an的公约数，d|a1 => a1=d*b1,d!=0,所以b1!=0
abs(a1)=abs(d)*abs(b1) >= abs(d)
a1的公约数有限 -abs(a1)<=d<=abs(a1)
在这些公约数中找最大的满足是(a1,a2,...,an)的。

d|ai <=> d|abs(ai), i=1,2,...,n
(a1,a2,...,an) = (abs(a1),abs(a2),...,abs(an))

定理2：b>0，则
(1)0与b的公约数是b的约数，反之，b的约数也是0与b的公约数。
(2) (0,b)=b
推论：若b!=0, (0,b)=abs(b)
=> 若b>0，则b的最大约数是b。

定理3：设a,b,c是三个整数，a=b*q+c，则(a,b)=(b,c)。
被除数与除数的最大公约数就是除数与商的最大公约数。
证明：设d1=(a,b),d2=(b,c),要证明d1=d2，只要证明d1<=d2,d2<=d1 (只要d1|d2且d2|d1)。
(1)证d1<=d2。由d1=(a,b)=>d1|a,d1|b,c=a-b*q,所以d1|c。
由d1|b,d1|c=>d1是b,c的公因数
d2=(b,c) => d1<=d2
(2)证d2<=d1，由d2=(b,c)，则d2|b,d2|c
因为b*q+c => d2|a
由d2|a,d2|b => d2是a,b的公因数
d1=(a,b) => d2<=d1
所以d1=(a,b)=(b,c)=d2。