题意：给一个图，图中有部分是向边，部分是无向边，要求判断是否存在欧拉回路，若存在，输出路径。
分析：欧拉回路的定义是，从某个点出发，每条边经过一次之后恰好回到出发点。
无向边同样只能走一次，只是不限制方向而已，那么这个情况下就不能拆边。不妨先按照所给的start和end的顺序，初步定下该无向边的顺序（若不当，一会再改）。那么有个问题，我们需要先判断其是否存在欧拉回路先。
混合图不满足欧拉回路因素有：（1）一个点的度（无论有无向）是奇数的，那么其肯定不能满足出边数等于入边数。（2）有向边的出入度过于悬殊（悬殊是指，拿所有无向边来怎么抵消都是不平衡）。
首先可以先将不满足上述两个条件的case结束掉，无解。
那么还有个问题，这样随便地定下一条无向边为随意一个方向不是太随意了吗？当然，这样做不可能保证每个点的出入度就平衡了，所以我们得想办法让每个点的出入度都平衡。考虑到，如果一个点的出度多了，那么该点可以将多出的部分出度换回来入度，这相当于将出度“流向”其他需要出度的点。好像可以最大流解决，好吧，接下来讲建图。
建图。对于任意一条无向边（被我们已经随意定向的那些)，假设其方向初定位u-v。那么u有出度可以赠人了，所以新图中u到v有边，容量是1，表示将出度送给v，当然自己就会获得入度1个。但是并不是所有的点u的出度都很多以至于可以送人，不过其出度可以赠人这倒是没错的，看它肯不肯了。当chudu[u]>rudu[u]时，必定可以给人，且可以给(chudu[u]-rudu[u])/2，这很明显。那么应该有边从源点到u，容量为(chudu[u]-rudu[u])/2，表示其可以流出这么多个出度（注意别重复建边）。同理，对于缺入度的点，应该有边到汇点，容量为(rudu[v]-chudu[v])/2。这样图就建成。
建完图后还要再判断一次是否有解，即当从源点出来的容量和到达汇点的容量不一致时，无解。因为缺入度的点和缺出度的点数不一样多，平衡不了。
若有解，再对新图来求一次最大流，最大流应该等于源点到其他点的容量之和。及所有点都平衡好了。所有有flow>0的边都是需要反过来的。全部在原图上修改后，重新建邻接表，进行求欧拉回路路径，这个用fluery算法即可。
特别需要注意的是：2个case间要空行。
1 #include <bits/stdc++.h>
2 #define LL long long
3 #define pii pair<int,int>
4 #define INF 0x7f7f7f7f
5 using namespace std;
6 const int N=150;
7 vector<int> vect[N], vec[N], ans;
8
9 int can[N], notru[N], notchu[N], chu[N], ru[N], edge_cnt, sum_flow1, sum_flow2, vis[550];
10
11 bool check(int n) //保证有解
12 {
13 for(int i=1; i<=n; i++) if( 1==(1&(ru[i]+chu[i])) ) return false; //奇数个度
14 for(int i=1; i<=n; i++) //每个点可以补救。若不可改出度为100,入度为2，肯定不行。得补得上才行
15 {
16 if( can[i]-abs(notru[i]-notchu[i])>=0 ) continue;
17 else return false;
18 }
19 return true;
20 }
21
22 struct node //网络流用的边
23 {
24 int from;
25 int to;
26 int cap;
27 int flow;
28 int has;
29 int isU;
30 }edge[4000], edg[550];
31
32 void add_node(int from,int to,int cap,int flow,int has)
33 {
34 edge[edge_cnt].from=from;
35 edge[edge_cnt].to=to;
36 edge[edge_cnt].cap=cap;
37 edge[edge_cnt].flow=flow;
38 edge[edge_cnt].has=has;
39 vect[from].push_back(edge_cnt++);
40 }
41
42 bool vis1[N], vis2[N];
43 void build_graph(int n,int m) //根据无向边建图。
44 {
45 memset(vis1,0,sizeof(vis1));
46 memset(vis2,0,sizeof(vis2));
47 for(int i=0; i<m; i++)
48 {
49 if(edg[i].isU)
50 {
51 int a=edg[i].from;
52 int b=edg[i].to;
53 add_node(a, b, 1, 0, i); //a的出度可给人
54 add_node(b, a, 0, 0, i);
55
56 if(!vis1[a] && chu[a]>ru[a] ) //出度多，可流向别人
57 {
58 sum_flow1+=(chu[a]-ru[a])/2;
59 vis1[a]=1;
60 add_node(0, a, (chu[a]-ru[a])/2, 0, -1); //源点-（出边多的点）
61 add_node(a, 0, 0, 0, -1);
62 }
63 if(!vis2[b] && ru[b]>chu[b]) //所有缺边的都连到汇点
64 {
65 sum_flow2+=(ru[b]-chu[b])/2;
66 vis2[b]=1;
67 add_node(b, n+1, (ru[b]-chu[b])/2, 0, -1 );
68 add_node(n+1, b, 0, 0, -1 );
69 }
70 }
71 }
72 }
73
74 int flow[N], path[N];
75 int BFS(int s,int e)
76 {
77 deque<int> que(1,s);
78 flow[s]=INF;
79 while(!que.empty())
80 {
81 int x=que.front();
82 que.pop_front();
83 for(int i=0; i<vect[x].size(); i++)
84 {
85 node e=edge[vect[x][i]];
86 if(!flow[e.to] && e.cap>e.flow )
87 {
88 flow[e.to]=min(flow[e.from],e.cap-e.flow );
89 path[e.to]=vect[x][i];
90 que.push_back(e.to);
91 }
92 }
93 if(flow[e]) return flow[e];
94 }
95 return flow[e];
96 }
97
98 int cal(int s,int e) //求最大流。只能满流有解
99 {
100 int ans_flow=0;
101 while(true)
102 {
103 memset(flow,0,sizeof(flow));
104 memset(path,0,sizeof(path));
105 int tmp=BFS(s,e);
106 if(tmp==0) return ans_flow;
107 ans_flow+=tmp;
108 int ed=e;
109 while(ed!=s)
110 {
111 int t=path[ed];
112 edge[t].flow+=tmp;
113 edge[t^1].flow-=tmp;
114 ed=edge[t].from;
115 }
116 }
117 }
118
119 void change_edge(int m) //改变边的方向，重新建邻接表。
120 {
121 for(int i=0; i<edge_cnt; i+=2)
122 if(edge[i].has>=0 && edge[i].flow>0 ) //有流过的才需要改
123 swap(edg[edge[i].has].from , edg[edge[i].has].to );
124
125 for(int i=0; i<N; i++) vec[i].clear();
126 for(int i=0; i<m; i++) vec[edg[i].from].push_back(i); //重新建立临接表
127 }
128
129 void fluery(int x) //任意一个点开始即可
130 {
131 for(int i=0; i<vec[x].size(); i++)
132 {
133 int t=vec[x][i];
134 if(!vis[t]) //该边没遍历过
135 {
136 vis[t]=1;
137 fluery(edg[t].to);
138 }
139 }
140 ans.push_back(x);
141 }
142
143 void init()
144 {
145 edge_cnt=0;
146 sum_flow1=0;
147 sum_flow2=0;
148 memset(can, 0, sizeof(can));
149 memset(notru, 0, sizeof(notru));
150 memset(notchu, 0, sizeof(notchu));
151 memset(chu, 0, sizeof(chu));
152 memset(ru, 0, sizeof(ru));
153 memset(edge, 0, sizeof(edge));
154 memset(edg, 0, sizeof(edg));
155 for(int i=0; i<N; i++)
156 vec[i].clear(),vect[i].clear();
157 }
158
159 int main()
160 {
161 freopen("input.txt", "r", stdin);
162 int t, a, b, n, m;
163 char c;
164 cin>>t;
165 while(t--)
166 {
167 init();
168 scanf("%d%d",&n,&m);
169 for(int i=0; i<m; i++)
170 {
171 scanf("%d%d",&a,&b);
172 while((c=getchar())==‘ ‘ );
173 //cin>>c;
174 //原图*************************
175 edg[i].from=a;
176 edg[i].to=b;
177 edg[i].isU=(c==‘U‘?1:0);
178 vec[a].push_back(i);
179 //统计度***********************
180 chu[a]++,ru[b]++; //总出入度
181 if(c==‘U‘) can[a]++,can[b]++; //保存无向边的度
182 else notru[b]++,notchu[a]++; //登记有向边的出入度
183 }
184
185 if(!check(n)) puts("No euler circuit exist"); //检查是否有解
186 else
187 {
188 build_graph(n, m); //建临时图edge
189 if(sum_flow1!=sum_flow2 || cal(0, n+1)!=sum_flow1 ) //增广路求最大流
190 {
191 puts("No euler circuit exist");
192 if(t) printf("\n");
193 continue;
194 }
195 change_edge(m); //改变有流的边，重建原图edg的邻接表
196 memset(vis, 0, sizeof(vis));
197 ans.clear();
198 fluery(n); //求欧拉回路路径
199 for(int i=ans.size()-1; i>0; i--) printf("%d ",ans[i]); //反向输出路径
200 printf("%d\n",ans[0]);
201 }
202 if(t) printf("\n");
203 }
204 return 0;
205 }
AC代码
时间： 2024-12-16 09:04:14