哥德尔不全然性定理：现代数学的边界

德国数理逻辑学家哥德尔（Kurt
Godel，1906-1978）是康托尔的继承人。也是现代数学边疆的开拓者。

1931年，年仅25岁的哥德尔在其博士论文（仅仅有两页纸）证明了知名的“不全然性定理”，其结论例如以下：：

1）If
the system is
consistent（不矛盾）,it
cannot be complete（全然的）。

2）The
consistency（不矛盾性）of
the axioms（公理系统）cannot
be proven（被证明）
within the
system。

哥德尔为什么在两页纸的博士论文中如此自信地得出上述结论？实质上，哥德尔的“不全然性定理”给现代数学划定了边界。哥德尔是怎样证明的？实际上。哥德尔继承了当年康托尔的“对角线方法”（Diagonal
Method），是康托尔的继承人。

哥德尔的结论对那些企图给全部数学家研制出一套万能的公理系统的痴迷者“当头一棒”，震惊了当时的学界。实际上，仅仅有25岁的“小毛头”哥德尔成为当时世界数学精英的代表人物。

哥德尔不全然性定理是说：在一个不含内部矛盾的数学理论中，必有不可证明的命题；一个理论系统的不矛盾性在其自身内部是不可能被证明的。

记得，在1978年1月14日哥德尔去世之后。中科院数学所举行悼念活动。会上我有一个发言，内容大意如上所述。

袁萌
6月25日