下面可以谈论下如何求频繁元素的一个问题。
一、问题定义
如果一个数据流
，其中m为数据流的大小，
。我们可以定义每个元素出现的次数为
，其中
为第i个元素出现的次数。容易得出：
。
如果给定参数k，我们想求出所有出现次数超过m/k的元素。也就是输出集合：
。下面我们先从一个简单特例入手，对这个问题进行分析和解决。
二.简单情况
有个经典的过半元素查找问题，在编程之美里面也有分析（寻找发帖水王）。就是说给定一个数组，找出出现次数超过一半的元素。对于这个问题一个比较好的做法就是不断删除两个不同的元素，最终剩下的元素就是所要求的元素。使用一个变量ans作为候选。该方法时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。具体实现如下：
int majority_element(vector<int>nums) {
int len=nums.size,count=0,ans=0;
for(int i=0;i<len;i++){
if(count==0){
ans=nums[i];
count++;
}else{
if(ans==nums[i]){
count++;
}else{
count--;
}
}
}
return ans;
}
三、一般情况
编程之美里面在解决了这个问题之后，提出了一个扩展问题，就是说如何找出发帖总数目的1/4的ID。一般化的情况就是我们在第一节中定义的问题。那一般化的问题如何解决呢？
该问题的解决方法就是对第二节中方法的改进。第二节中k=2，使用一个变量作为候选。这里，我们使用一个大小为k-1的变量作为候选，因为至多有k-1个元素的出现次数超过m/k，否则不符合实际情况。具体实现我们可以使用一个map，map里存放元素及其出现的次数。访问到第i个元素的时候，如果这个元素在map中，则将对应出现次数加1。否则看map的大小。如果map的大小少于k-1，我们将其添加到map中，设其出现次数为1。否则我们将map里面所有的元素次数都减一，如果某元素对应的次数为0，则从map中删去该元素。具体实现代码如下。
void frequent_element(vector<int>nums,int k) {
map<int,int>num_cnt_map;
for(int i=0;i<nums.size();i++){
if(num_cnt_map.find(nums[i])!=num_cnt_map.end()){
num_cnt_map[nums[i]]=num_cnt_map[nums[i]]+1;
}else if(num_cnt_map.size()<k-1){
num_cnt_map[nums[i]]=1;
}else{
for(map<int,int>::iterator it=num_cnt_map.begin();it!=num_cnt_map.end();it++){
num_cnt_map[it->first]=num_cnt_map[it->first]-1;
if(num_cnt_map[it->first]==0){
num_cnt_map.erase(it);
}
}
}
}
}
下面我们对算法进行分析。在map中的元素次数都减一这个步骤（第9行到第14行的循环），一共减去了k（map中总共k个元素，每个元素对应次数减1）。所有元素出现的总次数为m，所以该步骤至多执行m/k次。显然任意出现次数超过m/k的元素一定最后仍留在map中。但是上述算法有个缺点就是：如果出现次数超过m/k的元素非常少，那么最终map中的某些元素不一定大于m/k。最终map中元素可能也没有k-1个。这时候我们需要对原数据流再做一次扫描，从而确定候选元素的出现次数，从而得出精确解。
四、进一步分析
我们可以通过第三节中的算法来对频繁元素出现的次数进行估计。对于任意频繁元素j，其出现次数为
，最终估计值
就是算法执行结束后num_cnt_map[j]。则两者有如下关系：
如果我们知道算法处理结束时map中元素对应次数的和为
，所以map中元素次数都减一这个步骤总共减去了
，所以最多执行了
次。则上面的不等式中的下界可以进一步提高：
