第三章绪论 哈尔小波

第二章的翻译尚未搬过来，请见谅

我们已经学习了L²(R)以及傅里叶变换。我们现在就可以开始构建小波了。为了达到这个目的，我们将L2(R)变为两个嵌套的子空间。序列V_j C V_j+1是近似空间。在j越趋近于无穷的时候，那么对于属于L²（R)里面的函数有更好的逼近效果。空间W_jC V_j+1是“细节空间”——W_j是V_j+1的子集，并且我们使用f_j（t）∈Vj来逼近f_j+1（t）∈V_j+1的时候，w_j（t）∈Wj+1就蕴含了没有完全逼近的细节。也就是说f_j+1（t）=f_j（t）+w_j（t）。

我们可以通过迭代的方法写出采用f_m（t）∈V_m对f_M（t）∈V_M的逼近（m<M）,并得到细节函数w_m（t）、w_m+1（t）....w_M-1(t).在实际的应用当中，我们可以将这些细节信息变作信号或者图片。我们可以通过分析细节信息来看出f_M（t）的跳变以及它的衍生物。

在第五章我们会详细介绍V_j和W_j，我们现在仅仅运用这些简单的理论来介绍哈尔空间。你将会看见，haar空间是分段函数的集合。从应用的角度来说，这些分段函数的系数可以视作一个视频信号的灰度或者频率。基础的哈尔空间V₀会在3.1节进行介绍。这个空间是由分段的函数构成，并且只是会在整数点有间断。更多的哈尔空间，我们将会在3.2节进行介绍。

我们对于L²(R)空间的覆盖，应该尽可能的覆盖他的轮廓，并且能够很好的将细节信息保存下来。在3.3节我们会介绍哈尔空间Vj，以及在3.4节中会介绍蕴含了细节信息的哈尔小波空间。

在3.5节，我们会讨论这些空间的关系，以及如何通过这些空间重建出我们的函数，我们在这节会经常的使用到向量对,来实现一个函数的迭代分解以及重建。这些向量对导出了能用于处理音频或者图像信号的哈尔小波变换（见第四章）

这章中对于读者理解第五章的内容非常重要，所以，我们在3.6章进行总结