为什么 Domino Shuffling 算法是正确的

如果你关注我的博客，或者也对计数组合学感兴趣的话，那么应该听说了奇妙的多米诺洗牌算法。这个算法并不复杂，但是理解它的正确性可要花一番心思。本文就来介绍这个算法。

多米诺洗牌算法最早是由 Elkies, Propp, Larsen, Kuperberg 四人在 92 年的论文 ‘Alternating Sign Matrices and Domino Tilings‘ 一文中提出的，用来给出 Aztec Diamond 图的多米诺骨牌铺砌的计数的第四个解法。不过在那篇论文中他们对这个算法的正确性的证明比较晦涩（虽然是正确的），很多人不满意他们的证明，开始寻找更简单的方法。Propp 在 03 年发表了一篇论文 ‘Generalized Domino Tilings ‘，用更清楚的语言重新表述了一遍洗牌算法，可惜只是重述了一遍，对算法正确性证明中的关键一步避而不谈。我发信向 Propp 询问这个问题，他的回答是 ‘哦，很多人都注意到了这一点，不过好像还没有人给出简洁的证明，至于我自己，恐怕也很那想出比原来（指 92 年的论文）更好的证明‘。

万幸的是，Domino 论坛（一个 Propp 维护的邮件论坛，汇集了这个领域的许多专家）中还有高人。法国的 Jérémie Bouttier 热心的向我解释了他的方法，确实非常漂亮。

在介绍 Bouttier 的方法之前，我们先回顾一下什么是多米诺洗牌算法，以及这个算法核心的地方在哪里。