CF615D Multipliers [数学]

tags:[计数原理][乘法逆元][归纳の思想]
题解(复杂度：O(mlogm))：
棘手之处：n的约数多到爆炸。因此我们不妨从因子的角度来分析问题。
对n分解质因数得：n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak。
令 M = (a1+1)*(a2+1)*...*(ak+1)。
p1在答案中被乘的次数为：(a2+1)*(a3+1)*...*(ak+1)*(1+2+...+a1) = M*a1/2
p1给最终答案作出的贡献为：p1^(M*a1/2)。同理可得其它因子给答案的贡献。
将每一个因子做出的贡献乘起来即为最终答案。
tips: 除以2的时候要用乘法逆元

code：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 const int NICO = 200000 + 10;
 5 const LL MOD = 1000000000 + 7;
 6 int m, cnt[NICO];
 7
 8 LL mod_pow(LL p, LL k, LL mod)
 9 {
10     LL res = 1;
11     while(k > 0)
12     {
13         if(k % 2 == 1) res = res * p % mod;
14         p = p * p % mod;
15         k /= 2;
16     }
17     return res % mod;
18 }
19
20 int main()
21 {
22     cin >> m;
23     for(int i=1;i<=m;i++)
24     {
25         int k; cin >> k;
26         cnt[k] ++;
27     }
28     LL M = 1, ans = 1;
29     for(int i=1;i<NICO;i++)
30     {
31         M = M * (cnt[i] + 1) % (2*MOD-2);
32     }
33     for(int i=1;i<NICO;i++)
34     {
35         LL tmp = M * cnt[i] % (2*MOD-2) / 2;
36         ans = ans * mod_pow(i, tmp, MOD) % MOD;
37     }
38     cout << ans << endl;
39 }