[黑科技]常数优化的一些技巧

感谢wys和小火车普及这些技巧qwq 这篇文章大概没什么营养

我们来看一道十分简单的题目：

设n=131072，输入两个长度为n的数列和，要求输出一个长度为n的数列。

其中，。

首先我们来讲讲这题怎么做。

如果数据是随机的，那么有一种神奇的做法：在a和b中分别挑出最大的p个元素，对于每个i暴力枚举每个p进行更新，这样的复杂度是O(np)的，正确性我不会分析= =

那么数据不是随机的...那么估计没有什么快速的算法，不如暴力！

以下的运行时间均为在我的渣渣笔记本中测试得到，仅供参考。测试环境Ubuntu，编译选项只有-O2。

0.

#define SZ 666666
int a[SZ],b[SZ],c[SZ];
const int n=131072;
int main()
{
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",a+i);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",b+i);
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++) c[i]=max(c[i],a[j]+b[i-j]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",c[i]);puts("");
    cerr<<clock()<<"ms\n";
}

simple and stupid。我们来测试一下...跑了8s。虽然不是太糟，但是还是很慢...我们来进行一波有理有据的常数优化吧。

1. 加上输入输出优化

const int n=131072;
char ch,B[1<<20],*S=B,*T=B;
#define getc() (S==T&&(T=(S=B)+fread(B,1,1<<20,stdin),S==T)?0:*S++)
#define isd(c) (c>=‘0‘&&c<=‘9‘)
int aa,bb;int F(){
    while(ch=getc(),!isd(ch)&&ch!=‘-‘);ch==‘-‘?aa=bb=0:(aa=ch-‘0‘,bb=1);
    while(ch=getc(),isd(ch))aa=aa*10+ch-‘0‘;return bb?aa:-aa;
}
#define gi F()
#define BUFSIZE 5000000
namespace fob {char b[BUFSIZE]={},*f=b,*g=b+BUFSIZE-2;}
#define pob (fwrite(fob::b,sizeof(char),fob::f-fob::b,stdout),fob::f=fob::b,0)
#define pc(x) (*(fob::f++)=(x),(fob::f==fob::g)?pob:0)
struct foce {~foce() {pob; fflush(stdout);}} _foce;
namespace ib {char b[100];}
inline void pint(int x)
{
    if(x==0) {pc(48); return;}
    //if(x<0) {pc(‘-‘); x=-x;} //如果有负数就加上
    char *s=ib::b;
    while(x) *(++s)=x%10, x/=10;
    while(s!=ib::b) pc((*(s--))+48);
}
int main()
{
    for(int i=0;i<n;i++) a[i]=gi;
    for(int i=0;i<n;i++) b[i]=gi;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++) c[i]=max(c[i],a[j]+b[i-j]);
    for(int i=0;i<n;i++) pint(c[i]),pc(‘ ‘);pc(10);
    cerr<<clock()<<"ms\n";
}

虽然看起来只有10w多个数，我们还是加一波输入输出优化试试...

居然跑了10s。比原来还慢...这和预期不太相符啊...在windows上加了输入输出确实会变快，但是ubuntu下变慢了...大概输入输出少的时候最好还是不要加优化？

以下的测试全部基于输入输出优化，就假装加了优化跑的更快好了。

2. 手写stl

虽然这段代码非常短，但是我们还是使用了一个stl：max。我们来常数优化一波！

for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            if(a[j]+b[i-j]>c[i])
                c[i]=a[j]+b[i-j];

测了测，跑了5.3s，比原来快了快一半！可喜可贺。

3. 把if改成三目？

这时候我想起了wys的教导：少用if，多用三目。

for(int i=0;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            (a[j]+b[i-j]>c[i])
            ?(c[i]=a[j]+b[i-j]):0;

这样写跑了6.1s，居然比if还慢？

有理有据的分析：正常情况下，if改成三目会变快的原因是因为消除了分支预测，分支预测错误跳转的代价很大，而上面那段代码预测错误几率很小，所以if就比较快了。

4. 循环展开

为了写起来方便，首先我们将b数组反序，这样可以减少运算量，接下来把内层j循环展开。

int main()
{
    for(register int i=0;i<n;i++) a[i]=gi;
    for(register int i=0;i<n;i++) b[n-i]=gi;
    for(register int i=0;i<n;i++)
    {
        int*r=b+n-i;
        for(register int j=0;j<=i;j+=8)
        {
        #define chk(a,b,c) if(a+b>c) c=a+b;
        #define par(p) chk(a[p],b[p],c[i])
        par(j) par(j+1) par(j+2) par(j+3)
        par(j+4) par(j+5) par(j+6) par(j+7)
        }
    }
    for(register int i=0;i<n;i++) pint(c[i]),pc(‘ ‘);pc(10);
    cerr<<clock()<<"ms\n";
}

这样理论上cpu可以对中间的代码乱序执行，就是一次执行很多条，从而提高运行速度。

实测优化效果非常好，只跑了2.9s，比原来快了1倍多。

此外我还了解到openmp和cache blocking这两种优化方法，但是对程序提速不明显，这里就不提了，有兴趣的自行度娘。

5. Intrinsic

这是真正的黑科技了= =orz小火车

#include "immintrin.h"
#include "emmintrin.h"
static __m256i a_m[SZ],b_m[8][SZ];
static int a[SZ],b[SZ],c[SZ];
__attribute__((target("avx2")))
inline int gmax(__m256i qwq)
{
    int*g=(int*)&qwq,ans=0;
    (g[0]>ans)?(ans=g[0]):0;
    (g[1]>ans)?(ans=g[1]):0;
    (g[2]>ans)?(ans=g[2]):0;
    (g[3]>ans)?(ans=g[3]):0;
    (g[4]>ans)?(ans=g[4]):0;
    (g[5]>ans)?(ans=g[5]):0;
    (g[6]>ans)?(ans=g[6]):0;
    (g[7]>ans)?(ans=g[7]):0;
    return ans;
}
__attribute__((target("avx2")))
int main()
{
    const int n=131072;
    memset(a,-127/3,sizeof(a));
    memset(b,-127/3,sizeof(b));
    for(register int i=0;i<n;i++) a[i]=gi;
    for(register int i=0;i<n;i++) b[n-i]=gi;
    for(register int i=0;i<=n+5;i+=8)
        a_m[i>>3]=_mm256_set_epi32
        (a[i],a[i+1],a[i+2],a[i+3],
        a[i+4],a[i+5],a[i+6],a[i+7]);
    for(register int r=0;r<8;++r)
    for(register int i=0;i<=n+67;i+=8)
        b_m[r][i>>3]=_mm256_set_epi32
        (b[i+r],b[i+1+r],b[i+2+r],b[i+3+r],
        b[i+4+r],b[i+5+r],b[i+6+r],b[i+7+r]);
    __m256i zero=_mm256_set_epi32(0,0,0,0,0,0,0,0);
    for(register int i=0,lj;i<n;i++)
    {
        __m256i*r=b_m[(n-i)&7]+((n-i)>>3),
        qwq=zero; lj=(i>>3);
        for(register int j=0;j<=lj;j+=8)
        {
#define par(p) qwq=_mm256_max_epi32(\
qwq,_mm256_add_epi32(a_m[p],r[p]));
            par(j) par(j+1) par(j+2) par(j+3)
            par(j+4) par(j+5) par(j+6) par(j+7)
        }
        c[i]=gmax(qwq);
    }
    for(register int i=0;i<n;i++)
        pint(c[i]),pc(‘ ‘);pc(10);
    cerr<<clock()<<"ms\n";
}

这段代码有点长，这里解释一下原理。

大家都知道stl中有一个很好用的库叫bitset，它的原理是将32/64个bit（取决于字长）压成一个数（long），从而使常数/=32或64。

在intel部分指令集中，有类似的数据类型，可以将多个int/float/double等等压在一个128/256/512位的数据类型里，从而一起进行计算。

大致有三种数据类型：

__m128i __m256i __m512i

分别对应压在128/256/512位内。

我们可以对这三种数据类型中压的数进行并行计算！例如一个__m256i里可以包8个int。这些数据类型的方法有点多，intel提供了一个可以查找这些方法的页面：https://software.intel.com/sites/landingpage/IntrinsicsGuide/

实现起来相当于手写bitset，细节详见代码吧。

这段代码只跑了1.4s！又比循环展开快了一倍。

我实测了一下，在uoj上__m256i无法使用，__m128i只能使用部分指令，例如_mm_max_epi32这个指令就不支持......洛谷上可以正常运行。