Bzoj2655 calc

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Description

　　一个序列a1,...,an是合法的，当且仅当：
　　长度为给定的n。
　　a1,...,an都是[1,A]中的整数。
　　a1,...,an互不相等。
　　一个序列的值定义为它里面所有数的乘积，即a1a2...an。
　　求所有不同合法序列的值的和。
　　两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样。
　　输出答案对一个数mod取余的结果。

Input

　　一行3个数，A，n，mod。意义为上面所说的。

Output

　　一行结果。

Sample Input

9 7 10007

Sample Output

3611

HINT

数据规模和约定

　　0:A<=10,n<=10。

　　1..3:A<=1000,n<=20.

　　4..9:A<=10^9,n<=20

　　10..19:A<=10^9,n<=500。

　　全部:mod<=10^9,并且mod为素数，mod>A>n+1

Source

数学问题 伯努利数 容斥 脑洞题

设$ f[i] $表示长度为i的合法序列，$ g[i]=\sum{j=1}^{A} j^i $

然后容斥一下：

$ f[i]=g[i]*f[i-1] - C_{i-1}^{1}*(2-1)!*g[2]*f[i-2]+ C_{i-1}^{2}*(3-1)!*g[3]*f[i-3] - ...$

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cmath>
 6 #define LL long long
 7 using namespace std;
 8 const int mxn=511;
 9 int read(){
10     int x=0,f=1;char ch=getchar();
11     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
12     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
13     return x*f;
14 }
15 int A,n,mod;
16 int c[mxn][mxn],inv[mxn],fac[mxn];
17 LL B[mxn],g[mxn],f[mxn];
18 void init(){
19     int i,j;
20     int mxn=n+2;
21     for(i=0;i<mxn;i++)c[i][0]=1;
22     for(i=1;i<mxn;i++)
23         for(j=1;j<mxn;j++)
24             c[i][j]=((LL)c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
25     inv[0]=inv[1]=1;fac[0]=fac[1]=1;
26     for(i=2;i<mxn;i++){
27         inv[i]=((-mod/i*(LL)inv[mod%i]%mod)+mod)%mod;
28         fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
29     }
30     B[0]=1;
31     for(i=1;i<mxn;i++){
32         for(j=0;j<i;j++)
33             B[i]=(B[i]-c[i+1][j]*B[j])%mod;
34         B[i]=B[i]*inv[i+1]%mod;
35         if(B[i]<0)B[i]+=mod;
36     }
37     return;
38 }
39 void solve(){
40     int i,j,k;
41     for(k=1;k<=n;k++){
42         int tmp=A+1,bas=tmp;
43         for(i=1;i<=k+1;i++){
44             g[k]=g[k]+c[k+1][i]*B[k+1-i]%mod*tmp%mod;
45             if(g[k]>=mod)g[k]-=mod;
46             tmp=(LL)tmp*bas%mod;
47         }
48         g[k]=g[k]*inv[k+1]%mod;
49     }
50     f[0]=1;
51     for(i=1;i<=n;i++){
52         LL F=1;
53         for(j=1;j<=i;j++){
54             f[i]=(f[i]+F*g[j]*c[i-1][j-1]%mod*f[i-j]%mod*fac[j-1])%mod;
55             F=-F;
56         }
57     }
58     printf("%lld\n",(f[n]+mod)%mod);
59     return;
60 }
61 int main(){
62     int i,j;
63     A=read();n=read();mod=read();
64     init();
65     solve();
66     return 0;
67 }