[网络流24题] 最长递增子序列
«问题描述：
给定正整数序列x1,..., xn。
（1）计算其最长递增子序列的长度s。
（2）计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。
（3）如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn，则从给定序列中最多可取出多少个长
度为s的递增子序列。
注意：这里的最长递增子序列即最长不下降子序列！！！
«编程任务：
设计有效算法完成（1）（2）（3）提出的计算任务。
«数据输入：
由文件alis.in提供输入数据。文件第1 行有1个正整数n(n<=500)，表示给定序列的长度。接
下来的1 行有n个正整数x1,..., xn。
«结果输出:
程序运行结束时，将任务（1）（2）（3）的解答输出到文件alis.out中。第1 行是最长
递增子序列的长度s。第2行是可取出的长度为s 的递增子序列个数。第3行是允许在取出
的序列中多次使用x1和xn时可取出的长度为s 的递增子序列个数。
输入文件示例 输出文件示例
alis.in
4
3 6 2 5
alis.out
2
2
3
题目描述的不是很清楚，不是递增，是不下降，另外无限用事实上指的是1和n可以被用于多个不下降序列中，可以重复使用，而其他点只可以用一次。
对于第一问，随便求一下就行...
对于后两问，我们想到网络流的方法(毕竟网络流24题)，如何限制一个点的经过次数呢？我们可以把它拆成两个点，在两个点之间连一条权值为x的边，表示这个点最多经过x次。那如何建图呢，对于两个位置i,j,如果a[i]<=a[j]并且i<j并且g[i]+1=g[j]，那么我们就可以在他们之间连一条边，想一下也很简单。那么与源点(S)和汇点(T)如何连边呢？
对于第二问的情况，连1就行了，因为最多用一次。
对于第三问，非无限取的点和第二问一样，对于无限取的点，他与S相连的权值至少应该为他可能作为起点出现的次数a，与T相连的权值至少应该为他可能作为终点出现的次数b。对于只与S或者只与T相连的点，这种点的存在说明了最长不下降子序列长度不为1，我们边的权值可以取任意大于等于a或者b数字，因为其他的点会对他做出限制，他取大一点也没关系，反正也流不了那么多，但对于s与t均连在一个点上的情况，说明最长不下降序列长度为1，这时候a，b中比较小的那一个(其实这种情况全是1)，就必须取他本身，也就是1，才能“限制”住，不然的话他的流量就变成inf了。而1这个点又比较特殊，如果他可以作为终点出现，那么说明最长不下降序列长度为1，也就一定可以作为起点出现，那么1和t的连边权值一定是1，n点同理，与s连边权值一定是1,。
语文比较差,,,可能讲不清楚。也可能讲的就是错的qwq，因为我yy了一下午也就很牵强的说服了自己。。。
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 const int inf=1e6;//随便开...
4 int n,a[inf],f[inf],g[inf],top;
5 int tot,fi[inf],to[inf],next[inf],cost[inf],rev[inf];
6 int ans,que[inf],head,tail,dep[inf],cur[inf];
7 void slove1(){
8 for(int i=1;i<=n;i++){
9 if(a[i]>=f[top])f[++top]=a[i],g[i]=top;
10 else {
11 int l=1,r=top;
12 while(l!=r){
13 int mid=(l+r)>>1;
14 if(f[mid]<=a[i])l=mid+1;
15 else r=mid;
16 }
17 f[l]=a[i];
18 g[i]=l;
19 }
20 }
21 printf("%d\n",top);
22 }
23 void edge_add(int x,int y,int z){
24 to[++tot]=y;next[tot]=fi[x];
25 fi[x]=tot;cost[tot]=z;rev[tot]=tot+1;
26 to[++tot]=x;next[tot]=fi[y];
27 fi[y]=tot;cost[tot]=0;rev[tot]=tot-1;
28 }
29 bool bfs(){
30 for(int i=1;i<=n*2+2;i++)cur[i]=fi[i],dep[i]=-1;
31 dep[1]=0;
32 head=1;tail=0;
33 que[++tail]=1;
34 while(head<=tail){
35 int u=que[head++];
36 for(int i=fi[u];i;i=next[i])
37 if(cost[i]&&dep[to[i]]==-1)
38 dep[to[i]]=dep[u]+1,
39 que[++tail]=to[i];
40 }
41 return dep[n*2+2]!=-1;
42 }
43 int dfs(int x,int f){
44 if(x==n*2+2)return f;
45 for(int i=cur[x];i;i=next[i]){
46 cur[x]=i;
47 if(cost[i]&&dep[to[i]]==dep[x]+1){
48 int g=dfs(to[i],min(f,cost[i]));
49 if(g){
50 cost[i]-=g;
51 cost[rev[i]]+=g;
52 return g;
53 }
54 }
55 }
56 return 0;
57 }
58 void dinic(){
59 ans=0;
60 int f;
61 while(bfs())
62 while(f=dfs(1,0x3fffffff))ans+=f;
63 printf("%d\n",ans);
64 }
65 int main()
66 {
67 freopen("alis.in","r",stdin);
68 freopen("alis.out","w",stdout);
69 // freopen("1.txt","r",stdin);
70 scanf("%d",&n);
71 for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
72 slove1();
73 for(int i=1;i<=n;i++){
74 edge_add(i<<1,i<<1|1,1);
75 if(g[i]==1)edge_add(1,i<<1,1);
76 if(g[i]==top)edge_add(i<<1|1,n*2+2,1);
77 }
78 for(int i=1;i<n;i++)
79 for(int j=i+1;j<=n;j++)
80 if(a[i]<=a[j]&&g[i]+1==g[j])
81 edge_add(i<<1|1,j<<1,1);
82 dinic();
83 tot=0;
84 memset(fi,0,sizeof(fi));
85 memset(to,0,sizeof(to));
86 memset(next,0,sizeof(next));
87 memset(rev,0,sizeof(rev));
88 memset(cost,0,sizeof(cost));
89 for(int i=1;i<=n;i++){
90 edge_add(i<<1,i<<1|1,1);
91 if(g[i]==1)edge_add(1,i<<1,1);
92 if(g[i]==top)edge_add(i<<1|1,n*2+2,1);
93 }
94 for(int i=1;i<n;i++)
95 for(int j=i+1;j<=n;j++)
96 if(a[i]<=a[j]&&g[i]+1==g[j])
97 edge_add(i<<1|1,j<<1,1);
98 edge_add(2,3,0x3fffffff);edge_add(n<<1,n<<1|1,0x3fffffff);
99 if(g[1]==1)edge_add(1,2,0x3fffffff);
100 if(g[n]==top)edge_add(n<<1,n*2+2,0x3fffffff);
101 dinic();
102 return 0;
103 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/Turkeyghb/p/8136838.html