康托尔是怎样发现超限数的？

大家知道，超限数（Transfinite）集合论的核心概念。我们搞清除了超限数是怎样发现的这个问题，实质上就等于搞清除了集合论是怎样创立的。

在三维空间中，坐标原点O的直角坐标是（0,0,0）。由此，我们可以推想，在无限维空间中，也有类似情况。回顾历史，19世纪的欧洲，三角级数是一个非常热门的研究领域。但是，三角级数收敛的关键问题是极限函数变现的唯一性，如果三角级数收敛的唯一性不能证明，整个现代数学必然是乱糟糟的了。

在当时情况下，许多知名数学家都知道上述问题是个“硬骨头”，不敢问津。可是，在老师的建议下，在1870年，年仅二十出头的“小毛头”康托尔却啃下了这块“硬骨头”！其优异的成绩至今载入现代数学发展史册。

有关三角级数的康托尔定理是：如果三角级数的和函数f(x)是零，那么，该三角级数的各项系数均为零。由此，级数收敛唯一性迎刃而解。

进一步，康托尔设想，三角级数和函数的函数值不全为零，甚至，和函数的”非零点“是可数无限，但是，其“极限点”只有有限多个，此时三角级数收敛的唯一性仍然能够成立。在证明过程中，康托尔发现，有的级数项的下标需要用“超限数”来表示，由此，康托尔萌生了引进“超限数”的念头。

我们需要明白的是，现代集合论的建立不是康托尔个人的“灵感闪现”，空穴来风，而是数学发展的内部需求所致。康托尔不是神人。

说明：顾名思义，超限数就是超过所有的有限数的数字，而其后面还有其他后继数字。超限数也是“数”，不是别的什么东西。

袁萌
6月22日