拓扑排序（topsort）详解

这篇随笔就信息学奥林匹克竞赛中图论的一个知识点——拓扑排序进行讲解。拓扑排序的内容比较基础，只要求读者学习过并了解信息学中图的相关定义和一些专业名词，但是拓扑排序的变形题目比较多，希望读者在看完本随笔后认真体会练习，掌握拓扑排序。

上课！

拓扑排序的定义

顾名思义，这是一种排序，确切地说，是一种图上排序，在一张有向无环图（注解：有向无环图即很多参考书和题解中所说的DAG）上进行排序，把其中的所有节点排成一个序列，使得图中的任意一对有边相连的节点（u,v）u要出现在v前。

所以我再次强调，拓扑排序只能用在有向无环图中！！

这样的线性序列我们称之为拓扑序。

注意，拓扑序不唯一！这个地方不明白的请自己画图理解（或者参考下面的那棵树）。

拓扑排序的实现原理

在讲解图的拓扑排序之前，我们可以用一棵树来加深对拓扑排序的理解（因为树是绝对没有环）。

我们随意地定义一棵有向树（如下图），如果我们想得到它的拓扑序，那会很简单，只需要先把根节点8号放进队列中，然后再放8号的任意一个儿子节点，继续此操作。直到节点全放进去为止。

我们会发现，问放进去的是任意的一个子节点，所以我们说拓扑序是不唯一的（在绝大多数情况下，你要非跟我抬杠说假如只有一条链，我也没办法）。

拓扑排序的实现

讲完了实现原理，我们来进行拓扑排序的代码实现，根据上面的原理，我们会发现，我们要保证拓扑序列的正确性，只需要把图中的入度为0的节点先放进拓扑序，然后把这个点和它所有的出边全部删掉，这样就还会出现一些入度为0的点，我们继续重复以上操作。

有细心的小伙伴会发现这个和算法中的宽搜很相似，没错，所谓宽搜和深搜，都是基于对树与图的深度/宽度优先遍历而定义的，所以拓扑排序的实现其实就是借助了宽搜的思想。

上模板：

void topsort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(rudu[j]==0)
            {
                x=j;
                top[++cnt]=j;
                rudu[j]--;
                break;
            }
        }
        for(int j=head[x];j;j=nxt[j])
            rudu[j]--;
    }
}

以上代码的top数组存拓扑序列，使用的是链式前向星存图并遍历。比较好理解，但是时间复杂度比较低。（所以仅供理解）

所以我们用C++STL来实现拓扑排序，这样会快很多。

模板：

void topsort()
{
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(rudu[i]==0)
            q.push(i);
    while(q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        top[++cnt]=x;
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        {
            int y=to[i];
            rudu[y]--;
            if(rudu[y]==0)
                q.push(y);
        }
    }
}

其实也很好理解啦...

注意，以上代码是针对于已经保证图是DAG的情况下而出现的，假如我们没有题目中DAG的保证，就要额外地判这个图是不是DAG，即很多题目中要求的“无解”情况。

怎么判断呢？

学到这里，我觉得你应该想到，如果最后得到的拓扑序列的长度等于节点总数，那么这个图就是DAG，否则就不是。

所以我们最后进行判断。

（你也可以使用STL中的vector容器）

代码：

if(cnt==n)
    //DAG操作
else
    //非DAG操作

拓扑排序的用途及一些技巧

拓扑排序的用途是解决一些依赖关系的题，一般来讲没有图论的基本要素（告诉你几个点，一眼就看出来这是一道图论题%%%），所以，我认为做拓扑排序题的难点在于如何建立一个和题意相符的图（建图坑死爹）。所以美其名曰拓扑排序是图论中最简单的内容，其实它的相关题目都很有思维含量，所以强烈建议各位同学多刷题多刷题。

由于拓扑排序不唯一，所以有些坑爹题目要求拓扑序列的一些内容，比如按字典序等等。

这时我们把原本的队列拓扑排序换成优先队列拓扑排序。

注意，优先队列不能提速，不要以为找到了一份更好的模板，一定要读题~~！！

除了定义方式有点怪异其他的跟队列一样。

priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;
//取队首的时候需要变成q.top()；

下课！！祝同学们AK IOI！！

原文地址：https://www.cnblogs.com/fusiwei/p/11331916.html