前言
函数概念:
函数的概念有两个,其一为初中的定义,称为传统定义,其二为高中的定义,称为近代定义。
传统定义:设在某变化过程中有两个变量\(x\)、\(y\),如果对于\(x\)在某一范围内的每一个确定的值,\(y\)都有唯一确定的值与它对应,那么就称\(y\)是\(x\)的函数,\(x\)叫做自变量。我们将自变量\(x\)取值的集合叫做函数的定义域,和自变量\(x\)对应的\(y\)的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
近代定义:设\(A\),\(B\)都是非空的数集,\(f:x→y\)是从\(A\)到\(B\)的一个对应法则,那么从\(A\)到\(B\)的映射\(f:A→B\)就叫做函数,记作\(y=f(x)\),其中\(x∈A\),\(y∈B\),原象集合\(A\)叫做函数\(f(x)\)的定义域,象集合\(C\)叫做函数\(f(x)\)的值域,显然有\(C\subseteq B\)。
- 对函数概念的理解
函数的两个定义本质是一致的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样,就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。
- 为什么要做这样的安排?
就高中的教学实践来看,高中阶段的学生接受映射这个抽象的数学概念都难度很大,更不用说初中学生了,故初中一般安排用传统定义来刻画函数,从运动变化的观点定义函数,便于学生理解和接受;随着学生的认知程度的提高,阅历的增加,接触函数的增多,用传统定义刻画的函数定义越来越不好解释函数的概念,比如迪利克雷函数,\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{1,x\in Q}\\{0,x\not\in Q,}\end{array}\right.\) 她本质的体现是一种对应,而不是运动变化过程。故需要对函数的定义做出调整;
同时还需要注意到,使用函数的近代定义来刻画函数,她还需要能向下兼容传统定义。这一点是满足的。故高中阶段采用先定义对应,然后在对应的概念基础上再定义映射,最后以映射为基础定义函数。
角的概念
- 初中定义:[静态定义]由公共端点的两条射线组成的图形,成为角。由此定义很容易理解其刻画的角的最大范围为\(\theta\in [0^{\circ},360^{\circ}]\)。
如下图所示,
但是,在日常生活中,我们经常会拧开水瓶盖子,顺时针几圈或者逆时针几圈,显然这时候静态角的范围已经不够用了,需要调整,这时候就需要动态角的概念粉墨登场了。
- 高中定义:[动态定义]将一条射线的端点放置在直角坐标的原点位置,射线和\(x\)轴的非负半轴重合,此时如果逆时针旋转就形成了正角,范围可以拓展到\((0,+\infty)\);如果顺时针旋转就形成了负角,范围可以拓展到\((-\infty,0)\);如果不做选择就形成零角;这样采用动态定义,就能很容易将角的范围扩充到\((-\infty,+\infty)\);
而且这种定义方式也是能兼容角的静态定义的。
三角函数的概念
- 初中定义:同样由于受学生的认知能力和角的范围的限制,只是在\(Rt\triangle\)中定义,\(sin\theta=\cfrac{对边}{斜边}\),\(cos\theta=\cfrac{邻边}{斜边}\);这种定义的缺陷是三角函数的自变量\(\theta\)的范围只能是\([0^{\circ},90^{\circ}]\)。
而高中的角的范围已经扩充到了\((-\infty,+\infty)\),显然上述的初中定义已经不能用了,需要更新,应该怎么更新呢?
- 高中定义:将角放置到平面直角坐标系中,初始边放置到\(x\)轴的非负半轴上,终边随其落在某个象限或者坐标轴上,然后在终边上任取一点(不是原点)\(P(x,y)\),则\(r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}\),则\(sin\theta=\cfrac{y}{r}\),\(cos\theta=\cfrac{x}{r}\),\(tan\theta=\cfrac{y}{x}\),
很显然,这种定义方式可以刻画\((-\infty,+\infty)\)范围内的任意一个角的三角函数,而且兼容范围\([0^{\circ},90^{\circ}]\),也就是说高中的三角函数的定义同样能解释初中的三角函数的定义,体现了数学概念发展的扬弃。
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