[hdu-6608] Fansblog 威尔逊定理 质数的密度分布 2019 多校 3

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6608

题目大意：给一个质数P (1e9≤p≤1e14)，找比它小的最大质数Q，求Q! Module P

1.质数密度分布：质数分布的比较密，在p周围100内应该能遇到质数，所以q可以从大到小枚举

2.判断10^14 内数x是否为质数，只用提前筛出1^7 内质数看是否有x因子

3.威尔逊定理 (p−1)!≡−1(mod p) 当p是质数时 ，实际上就是 (p-1)! mod p =p-1 求Q! MOD P = (P-1)!/(P-1)/(P-2).../(Q+1) MOD P  =(P-1)*INF(P-1)*INF(P-2)*...*(Q+1)MOD P

INF(x)为 x逆元

4.求逆元方法：①费马小定理 a*a^{p-2 ≡ 1 (mod p)}  用快速幂求出a^p-2即求出aa的逆元.

②扩展欧几里得 xa≡1 mod p  解 xa+yp=1

因为p太大，用费马小定理会超时，用扩展欧几里得求

ps：p太大，直接（p-1）*(p-2)时会超long long，用快速乘（把乘法分解为多次加法，一边加一边取模）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//( p -1 )! ≡ -1 =p-1( mod p )  当p为素数时
long long  const n=1e7+100;
typedef long long ll;
ll prime[n];
ll p,q,cntprime,ans;

bool flag[n];
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//扩展欧几里得求逆元快一点，用费马小定理 a^(p-2)  由于p太大，容易超时
	if(!b){x=1;y=0;}
	else {exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}
}
ll getinv(ll a){//求q!%p  相当于= (p-1)!/(p-1)/(p-2)...(q+1)%p  用逆元
	ll x,y;
	exgcd(a,p,x,y);
	while(x<0)x+=p;
	return x;
}
ll mul(ll a,ll b){//快速乘  防止longlong 相乘会炸longlong
    ll ret=0;
    for(;b;b>>=1,a=(a<<1)%p)
      if(b&1) ret=(ret+a)%p;
    return ret%p;
}
void getans(){
	ans=p-1;
	for(ll i=p-1;i>q;i--){
		ans=mul(getinv(i),ans);//用快速乘
	}
}
void getprime(){//判断1e14内的质数，只需看有无1e7内的质数
	cntprime=0;
	for (ll i = 2; i <= 1e7; i++)
	{
    if (!flag[i]) prime[++cntprime] = i;
    for (int j = 1; j <= cntprime && prime[j] * i <= n; j++)
    {
        flag[i * prime[j]] = true;
        if (i % prime[j] == 0)
            break;
    }
	}
}
void getq(){//素数密度分布，素数分布的比较密集 			cout<<p-q<<endl;
//可以从大到小枚举，判断是否为质数，出现的比较快
	bool ok;
	for(ll i=p-2;i>=2;i--){
		ok=false;
		ll z=(long long)sqrt(i);
		for(int j=1;j<=cntprime&&prime[j]<=z;j++)if(i%prime[j]==0){ok=true;break;}
		if(!ok){q=i;return ;}
	}

}

int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	getprime();
	while(t--){
		scanf("%lld",&p);
		getq();
		getans();
		cout<<ans<<endl;
	}

	return 0;
}

威尔逊定理证明：https://blog.csdn.net/qq_36056315/article/details/83054665

原文地址：https://www.cnblogs.com/conver/p/11273386.html