例题3.9 动态最大连续和 UVa1400

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题利用线段树解决。事先构造一棵线段树，在每个线段树的结点中维护三个成员变量：max_sub,max_prefix,max_suffix。设此时线段树结点为x，左右端点分别为l,r

• max_sub：区间连续最大和
• max_prefix：区间前缀最大和
• max_suffix：区间后缀最大和

为了同时知道上述三个最大和的左右端点，令它们都是一个结构体segment，成员变量是l,r,val（左端点l，右端点r，最大和val）。那么现在问题的关键是如何查找给定区间[a,b]中这个max_sub。

利用分治法的思想：假设目前为结点u,左右端点分别是L,R，中点是M。那么分三种情况：（1）起点和终点都在左子结点u*2中，那么max_sub(a,b)就是左子结点中的max_sub。

（2）起点和终点都在右子结点u*2+1中，那么max_sub(a,b)就是右子结点中的max_sub。（3）起点在左子结点中，终点在右子结点中，那么max_sub(a,b)就是左子结点的max_suffix和右子结点的max_prefix之和（注意要重载segment结构体中的’+‘）。最后取这三种情况的最大者即可（注意要重载’<‘）。

同理也可以像上述分析那样递推得到max_prefix，max_suffix，具体过程见代码注释。整个过程中建树的时间复杂度是O(N)，查询的时间复杂度是O(logN)。

3.代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<functional>
using namespace std;

#define N 500000+10
#define INF 100000000
#define lson(x) ((x)<<1)//左子结点编号
#define rson(x) (((x)<<1)+1)//右子结点编号
typedef long long LL;
struct segment
{
	int l, r;//左右端点
	LL val;
	segment(int l = 0, int r = 0, LL val = 0){ this->set(l, r, val); }
	void set(int l, int r, LL val)
	{
		this->l = l;
		this->r = r;
		this->val = val;
	}
	segment operator +(const segment&u)//重载加号，获得合并后的区间及区间连续和
	{
		return segment(min(l, u.l), max(r, u.r), val + u.val);
	}
	bool operator <(const segment&u)const//由于下面要取最大值，因此要重载小于号
	{
		if (val != u.val)return val < u.val;//用max函数时取以下三种情况右边的值
		if (l != u.l)return l>u.l;//优先让左端点最小
		return r>u.r;
	}
};
struct Node
{
	int l, r;
	segment max_sub, max_prefix, max_suffix;
}node[N*4];

int n, m;
LL arr[N], s[N];

Node seg_push(Node a, Node b)//维护满足题意的区间
{
	Node ret;
	LL suml = s[a.r] - s[a.l - 1];//a结点的连续和
	LL sumr = s[b.r] - s[b.l - 1];//b结点的连续和
	ret.l = a.l;
	ret.r = b.r;
	ret.max_sub = max(a.max_suffix + b.max_prefix, max(a.max_sub, b.max_sub));//取三种情况的最大值：(1)起点在结点a，终点在结点b中;(2)起点和终点都在结点a中;(3)起点和终点都在结点b中;
	ret.max_prefix = max(a.max_prefix, segment(a.l, a.r, suml) + b.max_prefix);//取两种情况的最大值：(1)终点仍在结点a中;(2)终点在结点b中
	ret.max_suffix = max(b.max_suffix, a.max_suffix + segment(b.l, b.r, sumr));//取两种情况的最大值：(1)起点仍在结点b中;(2)起点在结点a中
	return ret;
}

void build_segtree(int root, int l, int r)
{
	if (l == r)//叶子结点
	{
		node[root].l = node[root].r = l;
		node[root].max_sub.set(l, r, (LL)arr[l]);
		node[root].max_prefix.set(l, r, (LL)arr[l]);
		node[root].max_suffix.set(l, r, (LL)arr[l]);
		return;
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	build_segtree(lson(root), l, mid);//递归建树
	build_segtree(rson(root), mid + 1, r);
	node[root] = seg_push(node[lson(root)], node[rson(root)]);//node[root]为满足题意的区间
}
Node query(int root, int l, int r)
{
	if (l <= node[root].l&&node[root].r <= r)//待查询区间完全包含了编号为root的线段
		return node[root];
	int mid = (node[root].l + node[root].r) / 2;
	if (l <= mid&&r > mid)//起点在mid左侧，终点在mid右侧
		return seg_push(query(lson(root), l, r), query(rson(root), l, r));
	else if (r <= mid)//起点和终点都在mid左侧
		return query(lson(root), l, r);
	else//起点和终点都在mid右侧
		return query(rson(root), l, r);
}
int main()
{
	freopen("t.txt", "r", stdin);
	int rnd = 1;
	while (~scanf("%d%d", &n, &m))
	{
		s[0] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			scanf("%lld", &arr[i]);
			s[i] = s[i - 1] + arr[i];//s[i]计算前i个的和
		}
		build_segtree(1, 1, n);//建立线段树，根结点编号为1
		printf("Case %d:\n", rnd++);
		int l, r;
		while (m--)
		{
			scanf("%d%d", &l, &r);
			Node u = query(1, l, r);//从根结点开始查询线段[l,r]，返回满足题意的区间
			printf("%d %d\n", u.max_sub.l, u.max_sub.r);
		}
	}
	return 0;
}