[ZJOI2008]树的统计Count
Description
一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成
一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 I
II. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身
Input
输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有
一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作
的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。
对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。
Output
对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。
Sample Input
4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4
Sample Output
4
1
2
2
10
6
5
6
5
16
solution：
这非常明显，是一个树链剖分的模板题。
树链剖分就是把一棵树分成若干条链，分为轻链和重链，并把点映射到一个线性数列，然后用线段树维护这个序列。
对于点u，size最大的儿子称为重儿子，其他的儿子叫轻儿子。e（u，v）为重边，u到u的轻儿子的边称为轻边。重链是由重边组成的链。
性质1：u的任意轻儿子v，有size[v]<=size[u]/2
证明：假设size[v]>size[u]/2,设u的重儿子为v’.
size[v’]>=size[v]
size[v’]+size[v]>=2size[v]>size[u]矛盾
性质2：从根到任意点的路径中，轻边与重链的数量都小于等于lg n
证明：
1、假设路径只有轻边，每经过一条轻边，size至少减一半，所以最多lg n条轻边
2、每经过一条重边，size不会变大，所以1在有重边的时候仍然成立
3、连续的重边会连成重链，所以重链数<=轻边数+1
对于每一棵子树，优先搜索重儿子，每一个点的dfs序即为该点在线段树上的位置。
显然，一棵子树中的点是一个连续的区间，一条重链上的点也是一个连续的区间。
先一次dfs1算出每一个点的深度deep，重儿子son，子树大小size，父亲fa
再一次dfs2算出每一个点的w和top，w表示该点在线段树上的标号，top表示该点所在的重链的顶点。
1 void dfs1(int u){
2 siz[u]=1;
3 son[u]=0;
4 for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
5 int v=vet[i];
6 if(v!=fa[u]){
7 fa[v]=u;
8 deep[v]=deep[u]+1;
9 dfs1(v);
10 siz[u]+=siz[v];
11 if(siz[son[u]]<siz[v])
12 son[u]=v;
13 }
14 }
15 }
16 void dfs2(int u,int tp){
17 w[u]=++num;
18 top[u]=tp;
19 if(son[u])
20 dfs2(son[u],tp);
21 for(int i=head[u];i;i=Next[i])
22 if(vet[i]!=fa[u]&&vet[i]!=son[u])
23 dfs2(vet[i],vet[i]);
24 }
然后构建线段树
1 void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
2 if(l==r){
3 rmax[u]=sum[u]=val;
4 return;
5 }
6 int mid=(l+r)>>1;
7 if(i<=mid)
8 insert(u+u,l,mid,i,val);
9 else
10 insert(u+u+1,mid+1,r,i,val);
11 sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+1];
12 rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+1]);
13 }
1 for(int i=1;i<=n+n+n+n+n;i++)
2 rmax[i]=-1000000000;
3 for(int i=1;i<=n;i++){
4 int x;
5 scanf("%d",&x);
6 insert(1,1,n,w[i],x);
7 }
然后还有查询和修改
单点修改非常简单，直接用线段树的insert
1 void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
2 if(l==r){
3 rmax[u]=sum[u]=val;
4 return;
5 }
6 int mid=(l+r)>>1;
7 if(i<=mid)
8 insert(u+u,l,mid,i,val);
9 else
10 insert(u+u+1,mid+1,r,i,val);
11 sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+1];
12 rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+1]);
13 }
1 scanf("%s",ca);
2 int x,y;
3 scanf("%d%d",&x,&y);
4 if(ca[0]==‘C‘){
5 insert(1,1,n,w[x],y);
6 }
查询要分情况考虑
1、top[x]==top[y]
在同一条重链上
直接查询（x，y）区间
2、top[x]!=top[y]
向上跳一步，直到情况1
很不好解释，还是上代码
int query1(int u,int l,int r,int i,int j){
if(l==i&&r==j)
return rmax[u];
int mid=(l+r)>>1;
if(j<=mid)
return query1(u+u,l,mid,i,j);
else
if(i>mid)
return query1(u+u+1,mid+1,r,i,j);
else
return max(query1(u+u,l,mid,i,mid),query1(u+u+1,mid+1,r,mid+1,j));
}
int query2(int u,int l,int r,int i,int j){
if(l==i&&r==j)
return sum[u];
int mid=(l+r)>>1;
if(j<=mid)
return query2(u+u,l,mid,i,j);
else
if(i>mid)
return query2(u+u+1,mid+1,r,i,j);
else
return query2(u+u,l,mid,i,mid)+query2(u+u+1,mid+1,r,mid+1,j);
}
while(m--){
scanf("%s",ca);
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
if(ca[0]==‘C‘){
insert(1,1,n,w[x],y);
}
else
if(ca[0]==‘Q‘&&ca[1]==‘M‘){
ans=-1000000000;
while(top[x]!=top[y]){
int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
if(deep[f1]>=deep[f2]){
if(top[x]==x)
ans=max(ans,query1(1,1,n,w[x],w[x]));
else
ans=max(ans,query1(1,1,n,w[f1]+1,w[x]));
x=f1;
}
else{
if(top[y]==y)
ans=max(ans,query1(1,1,n,w[y],w[y]));
else
ans=max(ans,query1(1,1,n,w[f2]+1,w[y]));
y=f2;
}
}
ans=max(ans,query1(1,1,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y])));
printf("%d\n",ans);
}
else{
ans=0;
while(top[x]!=top[y]){
int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
if(deep[f1]>=deep[f2]){
if(top[x]==x)
ans+=query2(1,1,n,w[x],w[x]);
else
ans+=query2(1,1,n,w[f1]+1,w[x]);
x=f1;
}
else{
if(top[y]==y)
ans+=query2(1,1,n,w[y],w[y]);
else
ans+=query2(1,1,n,w[f2]+1,w[y]);
y=f2;
}
}
ans+=query2(1,1,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y]));
printf("%d\n",ans);
}
}
完整的ac代码
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cmath>
4 #include<algorithm>
5 #include<cstring>
6 #include<cstdlib>
7 using namespace std;
8 int ans,m,n,vet[100000],head[100000],Next[100000],en,fa[100000],deep[100000],siz[100000],son[100000],top[100000],w[100000],num,sum[1000000],rmax[1000000];
9 char ca[10];
10 void addedge(int u,int v){
11 vet[++en]=v;
12 Next[en]=head[u];
13 head[u]=en;
14 }
15 void dfs1(int u){
16 siz[u]=1;
17 son[u]=0;
18 for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
19 int v=vet[i];
20 if(v!=fa[u]){
21 fa[v]=u;
22 deep[v]=deep[u]+1;
23 dfs1(v);
24 siz[u]+=siz[v];
25 if(siz[son[u]]<siz[v])
26 son[u]=v;
27 }
28 }
29 }
30 void dfs2(int u,int tp){
31 w[u]=++num;
32 top[u]=tp;
33 if(son[u])
34 dfs2(son[u],tp);
35 for(int i=head[u];i;i=Next[i])
36 if(vet[i]!=fa[u]&&vet[i]!=son[u])
37 dfs2(vet[i],vet[i]);
38 }
39 void insert(int u,int l,int r,int i,int val){
40 if(l==r){
41 rmax[u]=sum[u]=val;
42 return;
43 }
44 int mid=(l+r)>>1;
45 if(i<=mid)
46 insert(u+u,l,mid,i,val);
47 else
48 insert(u+u+1,mid+1,r,i,val);
49 sum[u]=sum[u+u]+sum[u+u+1];
50 rmax[u]=max(rmax[u+u],rmax[u+u+1]);
51 }
52 int query1(int u,int l,int r,int i,int j){
53 if(l==i&&r==j)
54 return rmax[u];
55 int mid=(l+r)>>1;
56 if(j<=mid)
57 return query1(u+u,l,mid,i,j);
58 else
59 if(i>mid)
60 return query1(u+u+1,mid+1,r,i,j);
61 else
62 return max(query1(u+u,l,mid,i,mid),query1(u+u+1,mid+1,r,mid+1,j));
63 }
64 int query2(int u,int l,int r,int i,int j){
65 if(l==i&&r==j)
66 return sum[u];
67 int mid=(l+r)>>1;
68 if(j<=mid)
69 return query2(u+u,l,mid,i,j);
70 else
71 if(i>mid)
72 return query2(u+u+1,mid+1,r,i,j);
73 else
74 return query2(u+u,l,mid,i,mid)+query2(u+u+1,mid+1,r,mid+1,j);
75 }
76 int main(){
77 scanf("%d",&n);
78 for(int i=1;i<n;i++){
79 int x,y;
80 scanf("%d%d",&x,&y);
81 addedge(x,y);
82 addedge(y,x);
83 }
84 deep[1]=1;
85 dfs1(1);
86 dfs2(1,1);
87 for(int i=1;i<=n+n+n+n+n;i++)
88 rmax[i]=-1000000000;
89 for(int i=1;i<=n;i++){
90 int x;
91 scanf("%d",&x);
92 insert(1,1,n,w[i],x);
93 }
94 scanf("%d",&m);
95 while(m--){
96 scanf("%s",ca);
97 int x,y;
98 scanf("%d%d",&x,&y);
99 if(ca[0]==‘C‘){
100 insert(1,1,n,w[x],y);
101 }
102 else
103 if(ca[0]==‘Q‘&&ca[1]==‘M‘){
104 ans=-1000000000;
105 while(top[x]!=top[y]){
106 int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
107 if(deep[f1]>=deep[f2]){
108 if(top[x]==x)
109 ans=max(ans,query1(1,1,n,w[x],w[x]));
110 else
111 ans=max(ans,query1(1,1,n,w[f1]+1,w[x]));
112 x=f1;
113 }
114 else{
115 if(top[y]==y)
116 ans=max(ans,query1(1,1,n,w[y],w[y]));
117 else
118 ans=max(ans,query1(1,1,n,w[f2]+1,w[y]));
119 y=f2;
120 }
121 }
122 ans=max(ans,query1(1,1,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y])));
123 printf("%d\n",ans);
124 }
125 else{
126 ans=0;
127 while(top[x]!=top[y]){
128 int f1=(top[x]==x?fa[x]:top[x]),f2=(top[y]==y?fa[y]:top[y]);
129 if(deep[f1]>=deep[f2]){
130 if(top[x]==x)
131 ans+=query2(1,1,n,w[x],w[x]);
132 else
133 ans+=query2(1,1,n,w[f1]+1,w[x]);
134 x=f1;
135 }
136 else{
137 if(top[y]==y)
138 ans+=query2(1,1,n,w[y],w[y]);
139 else
140 ans+=query2(1,1,n,w[f2]+1,w[y]);
141 y=f2;
142 }
143 }
144 ans+=query2(1,1,n,min(w[x],w[y]),max(w[x],w[y]));
145 printf("%d\n",ans);
146 }
147 }
148 return 0;
149 }
时间： 2024-10-11 00:16:55