大学数学群练习一，第三题答案

一.($3\times 15'=45'$) 1.  求 $\dps{\ls{n}(a^n+b^n)^\frac{1}{n}}$, 其中 $a>b>0$. 解答: 由 $$\bex a<(a^n+b^n)^\frac{1}{n}<2^\frac{1}{n}a \eex$$ 及 $\dps{\ls{n}2^\frac{1}{n}=1}$ (参考第二大题第 4 小题), 夹逼原理知原极限 $=a$. 2.  求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-x}{

$\bf 摘要$: 本文给出了兰州大学 2011 年数学分析考研试题的一个参考解答. $\bf 关键词$: 兰州大学; 数学分析; 考研试题 1计算题 ($6\times 10'=60'$). (1)求极限 $$\bex \lim_{x\to 0}\frac{e^{x-\sin x}-e^\frac{x^3}{6}}{x^5} \eex$$ 解答: $$\bex \mbox{原极限}&=&\lim_{x\to 0}\frac{e^\xi\sex{x-\sin x-\frac{x^3}{6}

$\bf 摘要$: 本文给出了王大凯等编的<图像处理中的偏微分方程方法>第 5.4.1 节的详细论述. $\bf 关键词$: 图像滤波; 方向扩散模型; matlab 编程 1. 模型的建立 从保护图像边缘的观点出发, 我们希望扩散是沿着平行于边缘的切线方向 (即垂直于 $\n I$ 的方向) 进行. 于是得到如下 PDE: $$\bee\label{1:df} I_t=I_{\xi\xi}, \eee$$ 其中 $\xi(\perp \n I)$ 为单位矢量. 我们化简 \eqref{1:d

同济大学数学系主编, 高等数学 . 第二版, 下册. 2009年, 同济大学出版社. 7 空间解析几何与向量代数 7.5 空间直线及其方程 1(3). 求过点 P(2,-3,3) 且与平面 \pi: x+2y-3z-2=0 垂直的直线 l 的方程. 解答: 直线 l 过点 P(2,-3,3) , 且方向向量与平面法向量 {\bf n}=\sed{1,2,-3} 平行, 为 {\bf s}=\sed{1,2,-3} . 故其方程为 \bex \cfrac{x-2}{1}=\cfrac{y+8}{2

1 ( 10 分 ) 设 X 是 Banach 空间, f 是 X 上的线性泛函. 求证: f∈L(X) 的充分必要条件是 N(f)={x∈X; f(x)=0} 是 X 的闭线性子空间. 证明: 必要性. 设 N(f)?xn→x , 则 f(x)==limn→∞f(xn)(f∈X?)limn→∞0=0. 充分性. 用反证法. 若 f 无界, 则 ? n∈N, ? xn∈X, s.t. |f(xn)|>n∥xn∥, 而 ∥∥∥xnf(xn)∥∥∥<1n.(1) 令 yn=xnf(xn)?x1f(

1 (10 分) 设 X 是 Banach 空间, f 是 X 上的线性泛函. 求证: f∈L(X) 的充分必要条件是 N(f)={x∈X; f(x)=0} 是 X 的闭线性子空间. 证明:  参见书 P 82 T 2.1.7(3). 2 (10 分) 设 H 是 Hilbert 空间, l 为 H 上的一实值线性有界泛函, C 是 H 中一闭凸子集, f(v)=12||v||2?l(v)(? v∈C). 求证: (1)? u?∈H , 使得 f(v)=12||v?u?||2?12||u?||2

Navier-Stokes equations 1 Let ω be a domain in R3 , complement of a compact set B . Consider the following boundary value problem in ω : ν△v=(v?ξ?ω×x)??v+?p+fdiv v=0}in ω,v|?ω=0, lim∣∣x∣∣→∞v(x)=0.(1) We say that v:ω→R3 is a weak solution of (1) iff t

1. 方程  考虑 R3 中有界区域 Ω 上如下的稳态流动: {div(?u)=0,div(?u?u)?μ△u?(λ+μ)?divu+??γ=?f+g.(1) 2. 假设  先作一些初步的假设: 2.1. γ>32 ---保证对流项 div(?u?u) 可看成 (1)2 的扰动; 2.2. μ>0 , λ+23μ≥0 ---Navier-Stokes 假设; 2.3. 考虑非滑动边界---u=0 在 ?Ω 上. 这时可将 Navier-Stokes 假设放宽为 μ>0,λ+43μ>

1 ($15'$) 设 $\bbP$ 是一个数域, $f(x),g(x)\in \bbP[x]$, 且 $\p (g(x))\geq 1$. 证明: 存在唯一的多项式序列 $f_0(x),f_1(x),\cdots,f_r(x)$, 使得对 $0\leq i\leq r$ 有 $\p (f_i(x))<\p (g(x))$ 或 $f_i(x)=0$, 且 $$\bex f(x)=\sum_{i=0}^r f_i(x)g^i(x). \eex$$ 证明: 由带余除法, $$\beex \bea f