求逆元方法总结

在MOD的情况下，  （a*b/c ) %MOD  不能直接 / c 来求，需要找到一个数 inv 使得  inv * c % MOD = 1 。 这样 (a*b / c) % MOD  = (a * b * inv) % MOD;

性质： 逆元是积性函数   存在  a*b = c ，那么  inv[c] = inv[a] * inv[b] % MOD;

1、  循环找解的方法

long long circleRun(long long n){
	for(long long i = 1;i < MOD;i++)
		if(i * n % MOD == 1)
			return i;
	return -1;
}
long long n;
int main(){

	while(cin >> n){
		cout << n << " 's inv is "<<endl;
		cout << circleRun(n) << endl;
	}
	return 0;
}

2、费马小定理的解法  MOD 是质数才能用

利用   a ^ (p-1) % MOD === 1 , 那么它的逆元就是     a ^ (p-2)

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

const int MOD = 1e9+7;

long long quickpow(long long base,long long n){
	long long ans = 1;
	while(n){
		if(n%2 == 1) ans = ans * base % MOD;
		n /= 2;
		base = base * base % MOD;
	}
	return ans;
}
long long n;
int main(){

	while(cin >> n){
		cout << n << " 's inv is "<<endl;
		//cout << circleRun(n) << endl;
		cout << " a ^ (p-2) % MOD "<< endl;
		cout << quickpow(n, MOD-2) << endl;

	}
	return 0;
}

3、利用欧几里德扩展来求 ,

欧几里德扩展 是用来解决  ax + by = gcd(a,b)这样的等式。

这时候取  b = MOD, 你可以写成这样  ax = gcd(a,b) - by

推导出 a*x % MOD = gcd(a,b) %MOD

所以只要  gcd(a,b) % MOD === 1时,就可以使用这条来求a的逆元

但用exgcd求得时候,inv可能是负数， 还需要进行如下操作

inv = (inv % MOD + MOD) % MOD;

long long exGcd(long long a, long long b, long long &x0, long long &y0) // a*x0 + b*y0 = gcd(a,b)
{
    if(b==0)
    {
      x0 = 1;
      y0 = 0;
      return a;
    }
    long long r = exGcd(b, a % b, x0, y0);
    long long t = x0;
	x0 = y0;
	y0 = t - a / b * y0;
	return r;
}

long long n;
int main(){

	while(cin >> n){
		cout << n << " 's inv is "<<endl;
		//cout << circleRun(n) << endl;
		cout << " a ^ (p-2) % MOD "<< endl;
		cout << quickpow(n, MOD-2) << endl;

		cout << " ax + by = gcd(a,b) " << endl;
		long long inv,y0;
		exGcd(n ,MOD,inv,y0);
		inv = (inv % MOD + MOD) % MOD;
		cout << inv << endl;
	}
	return 0;
}

4、利用某神奇推导。。 O(n)求出 1---- n 的所有逆元。

预处理1-n关于p的逆元：（n < p） , 因为 逆元是积性函数，所以只要 p > n 成立即可，而不需要p必须为素数

假设已经预处理了1-i-1的逆元，j的逆元设为F[j]

令p = x * i –y ( 0 < y < i)

X* i = y (mod p)

X* F[y] * i = y * F[y] = 1(mod p)

所以i的逆元是F[i] = X* F[y]

这样就可以O(n)的时间预处理了。

参考链接

代码实现

const int N = 100005;
long long _inv[N];
void pre() {
	_inv[0] = _inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i < N; i++) {
		_inv[i] = ((MOD - MOD / i) * _inv[MOD % i]) % MOD;
	}
}
long long n;
int main(){
        pre();
	while(cin >> n){
		cout << _inv[n] << endl;
	}
        return 0;
}

4、 利用逆元函数是完全积性函数的性质

求所有质数的逆元即可，预处理复杂度是O(n / logn * logn) = O(n)

这种写法可以用 exgcd 来实现素数的logn 求逆,因为此时  a = p ,  MOD无论取何值(p除外)  ,  都有  gcd(p ,mod) = 1,适合通用情况。

之后再采取质因数分解的方法，即可对任意一个 n 以 logn速度求出其逆元

不过。。ACM竞赛如果为了求逆写这么长的代码貌似不太现实。