题意:
给出1到n的标号和m个球,每次随机取一个球,将其标号+1之后放回;
如果取出的标号是n就置为1,求执行k次操作之后每种球的期望个数;
n<=1000,m<=10000000,k<=max int;
题解:
设f[t][i]为第t次操作时,标号为i的球的期望个数;
那么很容易列出转移方程:
f[t][i]=f[t-1][i]+1/m*f[t-1][i-1]-1/m*f[t-1][i];
(边界i==1时同理)
这个状态显然是开不下的,但是可以考虑矩阵乘法优化;
得到一个形似这样的矩阵:
然后写一发交上去T了;
恩毕竟n=1000卡得过去才奇怪了;
所以还要优化,递推式已经挺好了,O(n^3logk)的复杂度还是要在n上下手;
再观察矩阵发现,这是一个循环矩阵,而根据百度百科定理可知,循环矩阵的乘积也是循环矩阵;
而保存一个n*n的循环矩阵只需要记录第一行就可以了,乘法也就可以优化到O(n^2);
那么此题就可以O(n^2logk)做出来了;
精度有毒!听说卡精度我就上了long double ,结果挂了;
然后换double过= =;
bzoj 2510土豪们的双倍经验;
代码:
#include<stdio.h> #include<iomanip> #include<string.h> #include<iostream> #include<algorithm> #define N 1001 using namespace std; typedef double ld; struct matrix { ld a[N]; }now,T,In,ret_mul,ret_pow; int n; void mul(matrix &x,matrix &y,matrix &p) { memset(&ret_mul,0,sizeof(matrix)); for(int i=1;i<=n;i++) { ret_mul.a[i]=0; for(int j=1;j<=n;j++) ret_mul.a[i]+=x.a[j]*y.a[(i-j+n)%n+1]; } p=ret_mul; } void pow(matrix &x,int y,matrix &p) { ret_pow=In; while(y) { if(y&1) mul(ret_pow,x,ret_pow); mul(x,x,x); y>>=1; } p=ret_pow; } int main() { int m,i,j,k; scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); for(i=1;i<=n;i++) cin>>now.a[i]; In.a[1]=1; T.a[1]=1-1.0/m,T.a[2]=1.0/m; pow(T,k,T); mul(now,T,now); cout<<fixed<<setprecision(3); for(i=1;i<=n;i++) cout<<now.a[i]<<endl; return 0; }
时间: 2025-01-02 05:40:24