最小二乘法原理
最小二乘法的目标:求误差的最小平方和,相应有两种:线性和非线性。线性最小二乘的解是closed-form(例如以下文),而非线性最小二乘没有closed-form,通经常使用迭代法求解(如高斯牛顿迭代法,本文不作介绍)。
【首先得到线性方程组】
1.概念
最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法能够简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
2.原理
函数原型:
已知:
(x0,y0)。(x1。y1)…(xi,yi)…(xn,yn)个点,n>=k。
偏差平方和:
偏差平方和最小值能够通过使偏导数等于零得到:
简化左边等式有:
写成矩阵形式:公式①
将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:公式②
也就是说X*A=Y,那么A = (X’*X)-1*X’*Y,便得到了系数矩阵A,同一时候,我们也就得到了拟合曲线。
高斯消元法
【然后解线性方程组,即公式①】
1.概念
数学上,高斯消元法(或译:高斯消去法)(英语:Gaussian Elimination),是线性代数中的一个算法,可用来为线性方程组求解,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时。高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。
2.原理
3.伪代码
这个算法和上面谈到的有点不同。它由绝对值最大的部分開始做起。这样能够改善算法的稳定性。
本算法由左至右地计算。每作出下面三个步骤,才跳到下一列和下一行:
- 定出i列的绝对值最大的一个非0的数,将第i行的值与该行交换,使得该行拥有该列的最大值;
- 将i列的数字除以该数,使得i列i行的数成为1。
- 第(i+1)行下面(包含第(j+1)行)全部元素都转化为0。
全部步骤完毕后,这个矩阵会变成一个行梯矩阵,再用代入法就能够求解该方程组。
i = 1
j = 1
while (i ≤ m and j ≤ n) do
Find pivot in column j, starting in row i // 从第i行開始。找出第j列中的最大值(i、j值应保持不变)
maxi = i
for k = i+1 to m do
if abs(A[k,j]) > abs(A[maxi,j]) then
maxi = k // 使用交换法找出最大值(绝对值最大)
end if
end for
if A[maxi,j] ≠ 0 then // 判定找到的绝对值最大值是否为零:若不为零就进行下面操作;若为零则说明该列第(i+1)行下面(包含第(i+1)行)均为零,不须要再处理,直接跳转至第(j+1)列第(i+1)行
swap rows i and maxi, but do not change the value of i // 将第i行与找到的最大值所在行做交换,保持i值不变(i值记录了本次操作的起始行)
Now A[i,j] will contain the old value of A[maxi,j].
divide each entry in row i by A[i,j] // 将交换后的第i行归一化(第i行全部元素分别除以A[i,j])
Now A[i,j] will have the value 1.
for u = i+1 to m do // 第j列中,第(i+1)行下面(包含第(i+1)行)全部元素都减去A[i,j],直到第j列的i+1行以後元素均為零
subtract A[u,j] * row i from row u
Now A[u,j] will be 0, since A[u,j] - A[i,j] * A[u,j] = A[u,j] - 1 * A[u,j] = 0.
end for
i = i + 1
end if
j = j + 1 // 第j列中。第(i+1)行下面(包含第(i+1)行)全部元素均为零。
移至第(j+1)列,从第(i+1)行開始反复上述步骤。
end while
代码
public class CurveFitting {
///<summary>
///最小二乘法拟合二元多次曲线
///比如y=ax+b
///当中MultiLine将返回a。b两个參数。
///a相应MultiLine[1]
///b相应MultiLine[0]
///</summary>
///<param name="arrX">已知点的x坐标集合</param>
///<param name="arrY">已知点的y坐标集合</param>
///<param name="length">已知点的个数</param>
///<param name="dimension">方程的最高次数</param>
public static double[] MultiLine(double[] arrX, double[] arrY, int length, int dimension) {
int n = dimension + 1; //dimension次方程须要求 dimension+1个 系数
double[][] Guass = new double[n][n + 1];
for (int i = 0; i < n; i++){ //求矩阵公式①
int j;
for (j = 0; j < n; j++){
Guass[i][j] = SumArr(arrX, j + i, length);//公式①等号左边第一个矩阵,即Ax=b中的A
}
Guass[i][j] = SumArr(arrX, i, arrY, 1, length);//公式①等号右边的矩阵,即Ax=b中的b
}
return ComputGauss(Guass, n);//高斯消元法
}
//求数组的元素的n次方的和,即矩阵A中的元素
private static double SumArr(double[] arr, int n, int length) {
double s = 0;
for (int i = 0; i < length; i++){
if (arr[i] != 0 || n != 0){
s = s + Math.pow(arr[i], n);
}
else{
s = s + 1;
}
}
return s;
}
//求数组的元素的n次方的和,即矩阵b中的元素
private static double SumArr(double[] arr1, int n1, double[] arr2, int n2, int length) {
double s = 0;
for (int i = 0; i < length; i++)
{
if ((arr1[i] != 0 || n1 != 0) && (arr2[i] != 0 || n2 != 0))
s = s + Math.pow(arr1[i], n1) * Math.pow(arr2[i], n2);
else
s = s + 1;
}
return s;
}
//高斯消元法解线性方程组
private static double[] ComputGauss(double[][] Guass, int n) {
int i, j;
int k, m;
double temp;
double max;
double s;
double[] x = new double[n];
for (i = 0; i < n; i++) {
x[i] = 0.0;//初始化
}
for (j = 0; j < n; j++) {
max = 0;
k = j;
// 从第i行開始,找出第j列中的最大值(i、j值应保持不变)
for (i = j; i < n; i++) {
if (Math.abs(Guass[i][j]) > max){
max = Guass[i][j];// 使用交换法找出最大值(绝对值最大)
k = i;
}
}
if (k != j) {
//将第j行与找到的最大值所在行做交换。保持i值不变(j值记录了本次操作的起始行)
for (m = j; m < n + 1; m++) {
temp = Guass[j][m];
Guass[j][m] = Guass[k][m];
Guass[k][m] = temp;
}
}
if (max == 0) {
// "此线性方程为神秘线性方程"
return x;
}
// 第m列中,第(j+1)行下面(包含第(j+1)行)全部元素都减去Guass[j][m] * s / (Guass[j][j])
//直到第m列的i+1行以後元素均为零
for (i = j + 1; i < n; i++) {
s = Guass[i][j];
for (m = j; m < n + 1; m++) {
Guass[i][m] = Guass[i][m] - Guass[j][m] * s / (Guass[j][j]);
}
}
}//结束for (j=0;j<n;j++)
//回代过程(见公式4.1.5)
for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
s = 0;
for (j = i + 1; j < n; j++) {
s = s + Guass[i][j] * x[j];
}
x[i] = (Guass[i][n] - s) / Guass[i][i];
}
return x;
}//返回值是函数的系数
public static void main(String[] args) {
double[] x = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
double[] y = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49};
double[] a = MultiLine(x, y, 8, 2);
for(int i =0; i <a.length;i++){
System.out.println(a[i]);
}
}
}
输出:
0.708333333333342
-0.37500000000000583
1.0416666666666674
取整就得到y=x^2。
时间: 2024-10-12 16:51:39