神经网络(Neural Networks)其实是一个很古老的想法，在提出来之后，沉寂了很长一段时间。而现在，神经网络是许多机器学习问题的首选算法。

一、神经网络的表示(The Representation for Neural Networks)

1、运用神经网络的动机(Motivations)

非线性的假设函数(Non-linear Hypothesis)

之前已经学习了两个机器学习中常用的方法：线性回归和逻辑回归。那为什么还需要神经网络这个东西呢。我们先来举一个监督学习中的分类问题的例子，假设有如下的训练集：

我们的目的是进行分类，假若如图所示的训练集一样，只有两个特征 x1,x2，通过逻辑回归很容易就能得到一个决策边界：

然而，当特征非常多的时候，我们必须用足够高次的项来保证假设函数的准确率，例如需要用100个特征来预测房价，且最高次项为6次，在逻辑回归中，假设函数为：

hθ(x)=g(θTX)=11+e?θTX

其中

g(θTX)=g(θ0+θ1x1+θ2x2+...+θkx1x2+θk+1x1x3+...+θnx61+θn+1x62+...)

从上面这个式子可以看出，如果要用梯度下降或者Normal Equation方法来得到 θj 的值，势必需要巨大的计算量。就算只有100个特征，如果只用最高项为二次项的函数 g(x)，也会有 C2100+201 个 θ 项。所以当遇到特征数很多的情况时，我们需要另外一种方法，也就是神经网络(Neural Networks)

大脑和神经元(Brain and Neurons)

再来讲讲有关大脑的东西，根据一些神经科学家的研究实验发现，当一个感知器官的与对应的大脑皮层区域的连接被切断时，如果把这个感受器和另一个皮层区域连接起来，那么这个皮层区域将学会感知新的东西。举个例子：

如上图，如果把听觉感受器和听觉皮层区域的连接切断，然后把听觉感受器和视觉皮层区域相连，则视觉皮层区域也能学会处理听到的东西。

再如：

如果把触觉感受器和触觉皮层区域的连接切断，然后把触觉感受器和视觉皮层区域相连，则视觉皮层区域也能学会处理触觉。所以人们一直想要模仿人类的大脑来创造真正的AI，但是还处于初级的研究阶段，毕竟我们连大脑的机制都没完全搞清楚。

另外一个例子是用舌头来看东西：

如图，头上戴的是一个图像接收器，类似摄像头，舌头上的一个电极阵列，高电压代表亮点，低电压代表暗点，这样通过舌头就能“看”东西了。

再回到神经网络算法，我们模拟大脑的目的就是让这种算法能够学习各种各样的事物，而不必某个特别的问题来设计一个对应的程序来解决问题。

2、神经网络(Neural Networks)

模型表示(Model Representation)

首先来看看，大脑中神经元的结构：

理科生肯定都学过高中生物，图中左边的蓝色部分上的分杈叫做树突(Dendrite)，它可以连接多个其他的神经元；细胞体中的绿色部分为细胞核；黄色部分为轴突(Axon)；最右边为轴突末梢(Axon terminal)，它可以和其他神经细胞的树突相连接。一个神经细胞可以和另一个神经细胞相连：

如上图，一个神经元的轴突末梢能和另一个神经元的树突相连，而且树突可以和多个轴突末梢相连，多个神经元的复杂连接就形成了一个神经网络。当然，以上都属于神经科学的范畴，在机器学习中，最简单的神经网络（只有一个神经元）可以表示如下：

其中，左边的 xj,j=1,2,3 表示输入节点（输入值），右边的 hθ(x) 表示输出，中间的橘黄色的节点表示神经元体(Body of Neuron)，输入节点与神经元体的连接线称为输入连接线，神经元体和输出的连接线称为输出连接线。当然也可以将 x0 画到图中：

而在这里 x0 称为偏置单位(bias unit)。

需要注意的是，函数 hθ(x)=11+e?θTX ， θ，X 均和之前的回归问题中的相同。在神经网络中，我们将假设函数称作为逻辑激活函数(Logistic Activation Function)

然而，一般的神经网络都不是像上面那样那么简单的。一般的神经网络表示如下：

同样可以添加 x0 和 a(2)0 到上图中，因为它们始终等于1，所以省略掉了。其中，最左边的 Layer1 称为输入层，最右边的 Layer3 称为输出层，中间的 Layer2 称为隐藏层，至于为什么叫隐藏层，是因为我们在使用训练出的模型时，只会使用输入层和输出层，中间的计算过程对我们来说是隐藏的。另外，模型可有有很多层，除了输入层和输出层外的其他层都成为隐藏层。

下面再来更加数学化地描述这个模型，还是以上面那张图为例，有如下记法：

其中，activation 表示层(Layer)中的一个单位(Unit)的激励。Θj 是一个映射向量。在第一层中加入 x0，我们可以将神经网络图中Layer1 和 Layer2 的关系表示如下：

a(2)1=g(Θ(1)10x0+Θ(1)11x1+Θ(1)12x2+Θ(1)13x3)

a(2)2=g(Θ(1)20x0+Θ(1)21x1+Θ(1)22x2+Θ(1)23x3)

a(2)3=g(Θ(1)30x0+Θ(1)31x1+Θ(1)32x2+Θ(1)33x3)

添加 a(2)0，可以把 Layer2 和 Lyer3 的关系表示如下：

hΘ(x)=a(3)1=g(Θ(2)10a(2)0+Θ(2)11a(2)1+Θ(2)12a(2)2+Θ(2)13a(2)3)

可以看出：

Θ(1)∈R3×4,Θ(2)∈R1×4

通常，在网络中，若层 j 含有 Sj 个单元，层 j+1 含有 Sj+1 个单元，则 Θ(1) 的维度为 Sj+1×(Sj+1)。

前向传播(Forward propagation)

前面提到了层(Layers)之间的关系式，现在来向量化计算过程：

我们令 a(j)i=g(z(j)i) ，例如：

z(2)1=Θ(1)10x0+Θ(1)11x1+Θ(1)12x2+Θ(1)13x3

再令：

则 z(2)=Θ(1)x，为了统一，我们可以把向量 x 用 a(1)表示，所以 a(2)=g(z(2))，我们在 Layer2 中加上第零项 a(2)0，则 z(3)=Θ(2)a(2)，最后 hΘ(x)=a(3)=g(z(3)) 。所以，在整个计算过程中，每一个激励单元 a(j)i 都会由前面的激励单元产生，最后生成最终结果，这个过程叫做前向传播(Forward propagation)。而在传播的过程中，每一层都是根据上一层的激励产生的新特征。不仅是3层，还可以使用更多层来生成更复杂的假设函数 hΘ(x)：

3、应用(Applications)

例一：实现与或非等逻辑功能

神经网络的应用很广泛，但是对于初学者来说，那就比较复杂了。来举一个二进制分类的例子，训练集如下图：

我们要求 x1 和 2 的亦或(XOR)，红色的×表示结果为0，蓝色的圈表示结果为1，为了简单起见，把图简化成下面这样：

可以看到，当 x1x2=00 和 x1x2=11 时，输出为0，当 x1x2=10 和 x1x2=01 时，输出为 1可以看到上面那条蓝色的线为一条异或决策边界。

那如果要实现与(AND)功能的话，我们可以通过神经网络来对输入进行处理以得到想要的结果：

如上图，其中 +1 为偏置单元，x1,x2∈{0,1}，输出 y=x1 AND x2，我们令

Θ(1)=????302020???

则

hΘ(x)=g(?30+20x1+20x2)

其中函数 g(z) 和逻辑回归中一样，其图像如下：

下面我们就来列一个真值表：

由此看累，上面就是一个实现与(AND)功能的神经网络。

要实现或(OR)功能，我们需要如下的神经网络：

其中

Θ(1)=????102020???

所以假设函数为

hΘ(x)=g(?10+20x1+20x2)

其真值表如下：

可以看出，上面的神经网络实现了异或(XOR)功能。

4.实现XNOR(NOT XOR)

我们之前已经得到了与或非三个神经网络，下面左边是与，右边是或，中间为(NOT x1) AND (NOT x2)，即当 x1=x2=0 输出才为1：

现在只需要将他们组合起来，如下：

我们就可以得到如下真值表：

可以看到，最终的 hΘ(x) 输出的即是 x1 和 x2 异或之后再取非的结果。所以，我们可以用复杂的多层神经网络来实现复杂的分类等问题。

例二：多类分类

最后是一个计算机视觉的分类问题，我们要使用神经网络来判断一个物体是行人(Pedestrian)、小汽车(Car)、摩托车(Motorcycle)还是卡车(Trunk)：

这个神经网络的输出如图下方，应该为一个四维的列向量。

另外需要注意的是，对于这种多类的分类问题，训练集应该符合下面的要求：

不仅 y(i) 要为四维的向量，输入 x(i) 也要为四维的向量。

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