noi2009变换序列
一、题目
1843 变换序列
2009年NOI全国竞赛
时间限制: 1 s
空间限制: 128000 KB
题目等级 : 大师 Master
题目描述 Description
对于N个整数0，1，…，N-1，一个变换序列T可以将i变成Ti，其中：Ti∈{0，1，…，N-1}且Ui=1 to n-1 {Ti}={0，1，…，N-1}。任意x，y∈{0，1，…，N-1}，定义x和y之间的距离D(x，y)=min{|x-y|，N-|x-y|}。给定每个i和Ti之间的距离D(i，Ti)，你需要求出一个满足要求的变换序列T。如果有多个满足条件的序列，输出其中字典序最小的一个。
说明：对于两个变换序列S和T，如果存在p<N，满足：对于i=0，1，…，p-1，Si=Ti且Sp<Tp，我们称S比T字典序小。
输入描述 Input Description
输入文件中的第一行为一个整数N，表示序列的长度。
接下来的一行为N个整数Di，其中：Di表示i和Ti之间的距离。
输出描述 Output Description
如果至少存在一个满足要求的变换序列T，则输出一行为N个整数，表示你计算得到的字典序最小的T；否则输出“No Answer”（不含引号）。
输出文件中相邻两个数字之间用一个空格分开，行末不包含多余空格。
样例输入 Sample Input
5
1 1 2 2 1
样例输出 Sample Output
1 2 4 0 3
数据范围及提示 Data Size & Hint
对于30%的数据，满足：N<=50；
对于60%的数据，满足：N<=500；
对于100%的数据，满足：N<=10000。
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二、分析
1、题目描述：
我现在简要述说一下这一题的意思：题目的意思就是给出x对y的对应关系：，现在给出D（x，y）和x，求y，并且要求字典序最小的y。（x这组数是从0到n-1，y这组数属于0到n-1）
下面分析一下样例就更加方便理解这个题目了：
|
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
D（x，y） |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
Y |
1 |
2 |
4 |
0 |
3 |
表一
样例输入中给了n为5，，所以表一第一行x的值也是从0到4。表一的第二行D（x，y）就是输入数据的x，y的关系。最后需要我们求的就是表一第三行的y的数据。
我们可以看到上表中的（每列）每组x，y，D（x，y）都是满足关系，比如x=0，D（x，y）=1，y=1这一列，
|x-y|=1，N-|x-y|=4，故D（x，y）=1，所以关系成立，后面的以此类推。
2、题目思考：
我们在仔细来看一下关系式，发现对于这样的一个关系式，我们知道D（x，y）和x，求y的话，y最多有四个值，不过其实仔细拿实例出来分析之后，就发现这四个值是可以变成两个值的。
看到题目，发现题目是一个赤裸裸的二分匹配。这个题目可以用匈牙利算法来做，匈牙利算法的时间复杂度是O(nm)，在这里是完全ok的。
这个题目还有另外一个难点，就是要求字典序最小的y，其实求最小的y可以在寻找交错路（匹配关系）的时候倒序寻找，不过这样做的时候要注意，在存边关系的连接表的时候要注意从小往大存，确保从字典序小的边找起。
因为如果正序查找，按照匈牙利算法的算法规则，那么一定是找到的字典序最大的那个。
问题：求二分图最大匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)
3、总结：
总结：其实这个题目就是二分匹配中的匈牙利算法，套用下匈牙利的模板，再想好怎么输出字典序最小的y就ok了。
三、代码
1 #include<iostream>
2 #include<iomanip>
3 #include<cstdio>
4 #include<cmath>
5 #include<cstring>
6 #include<cstdlib>
7 #include<algorithm>
8 #include<queue>
9 #include<map>
10 #define MAXN 10010
11 using namespace std;
12
13
14
15 int graph[MAXN][2];//每个点最多连出2条边，存边时保证graph[i][0]
16
17 int vis[MAXN];//表示节点是否被访问
18 int match[MAXN];//Y集合中的点i与X集合的match[i]匹配
19 int ans[MAXN];//用于输出结果
20 int n;
21
22 //用来构建关系，确保字典序小的存在前面
23 void addedge(int i,int ver)
24 {
25 if(graph[i][0]<0)
26 {
27 graph[i][0]=ver;
28 return;
29 }
30 else if(graph[i][0]>ver)
31 {
32 graph[i][1]=graph[i][0];
33 graph[i][0]=ver;
34 }
35 else graph[i][1]=ver;
36 }
37 //匈牙利算法中的寻找交错路
38 bool crosspath(int ns)
39 {
40 int j,nt;
41 for(j=0;j<=1;j++)//每个点优先匹配编号较小的点（graph[i][0]
42 {
43 nt=graph[ns][j]; if(nt<0) continue;
44 if(vis[nt]) continue;
45 vis[nt]=1;
46 if(match[nt]<0||crosspath(match[nt]))
47 {
48 match[nt]=ns;
49 return true;
50 }
51 }
52 return false;
53 }
54 //匈牙利算法倒叙从每个点找交错路，确保求出最小字典序y
55 int find()
56 {
57 memset(match,128,sizeof(match));
58 memset(vis,0,sizeof(vis));
59 int i,tot=0;
60 for(i=n-1;i>=0;i--)//倒叙从每个点找交错路
61 {
62 if(crosspath(i)) tot++;
63 memset(vis,0,sizeof(vis));
64 }
65 return tot;
66 }
67
68
69
70 int main()
71 {
72 //freopen("in.txt","r",stdin);
73 //输入数据以及确定每个D（x，y）和x对应的y，用于构造二分图
74 int i,qh,l,r;
75 scanf("%d",&n);
76 memset(graph,128,sizeof(graph));
77 for(i=0;i<n;i++)
78 {
79 scanf("%d",&qh);//qh为读入的d[i]，从i向i+d[i]，i-d[i]连边（要取模）
80 l=((i-qh)%n+n)%n;
81 r=((i+qh)%n+n)%n;
82 addedge(i,l);
83 if(r!=l) addedge(i,r);
84 }
85 if(find()<n)//未能完全匹配则无解。
86 {
87 printf("No Answer");
88 exit(0);
89 }
90 //统计答案输出。
91 for(int i=0;i<n;i++) ans[match[i]]=i;
92 printf("%d",ans[0]);
93 for(int i=1;i<n;i++) printf(" %d",ans[i]);
94 return 0;
95 }