$\bf命题2：$设$A$，$B$均为实对称半正定阵，则$A$，$B$可同时合同对角化
证明：由$A,B$半正定知$A+B$半正定，则存在可逆阵$P$，使得
PT
(A+B)P=diag(E
r
,0)
设
PT
AP=(A
1
A
2
′
A
2
A
3
)
则
PT
BP=(E
r
?A
1
?A
2
′
?A
2
?A
3
)
由于${ - {A_3}}$半正定且${ {A_3}}$半正定，故${{A_3} = 0}$，从而可知${{A_2} = 0}$
又由${{A_1}}$半正定知，存在正交阵$Q$，使得
QT
A
1
Q=diag(λ
1
,?,λ
r
)=C
从而可知
diag(QT
,E
n?r
)P
T
APdiag(Q,E
n?r
)=diag(C,0)
diag(QT
,E
n?r
)P
T
BPdiag(Q,E
n?r
)=diag(E
r
?C,0)
令$R = Pdiag\left( {Q,{E_{n - r}}} \right)$，则结论成立
$\bf注1：$
时间： 2024-10-24 17:52:15