数学-剩余系

欧几里得算法与扩展欧几里得算法

递归写法

gcd

int gcd(int a,int b)
{ return !a ? b : gcd(b%a,a); }

扩欧

struct value{ int x,y; value(int x,int y):x(x),y(y){} };
value ExtEuclid(int a,int b)
{
    if(a==0) return value(0,1);
    value r=ExtEuclid(b%a,a);
    return value(r.y-b/a*r.x,r.x);
}

非递归写法

gcd

int gcd(int a,int b)
{ while(a) b=b%a,swap(a,b); return b; }

扩欧的不会.....

求剩余系中某数的乘法逆元

考虑剩余系下的除法,a/b=ab^-1(mod MOD) ,有a^-1a=1(mod MOD),这个算法求出a^-1 ........

注意只有模数为质数时,整个剩余系的除零以外其它元素才都会有逆元.

int getrev(int p)
{ return p==0 ? -1 : (ExtEuclid(p,MOD).x%MOD+MOD)%MOD; }

具体的,要求 ax≡1(mod MOD) ,有 ax+MODy=1. 如果a与MOD的gcd不为1,则逆元不存在.

直接用扩欧来算(x,y)就行了......

未完待续

中国剩余定理

模意义下的高斯消元

求原根