一:知识点
欧拉函数的定义:
在数论中,对于正整数N,少于或等于N ([1,N]),且与N互质(即gcd为1)的正整数(包括1)的个数,记作φ(n)。
欧拉函数的延伸:
小于或等于n的数中,与n互质的数的总和为:φ(x) * x / 2 (n>1)。
欧拉函数φ(x)模板:
ll Euler(int n)//即求φ(x) { ll ret=n; for(int i=2;i<=sqrt(n);i++) if(n%i==0) { ret=ret/i*(i-1);//先进行除法防止溢出(ret=ret*(1-1/p(i))) while(n%i==0) n/=i; } if(n>1) ret=ret/n*(n-1); return ret; }
蒙哥马利(Montgomery)幂模运算是快速计算a^b%k的一种算法,是RSA加密算法的核心之一。
算法模板:
ll Montgomery(ll base,ll exp) { ll res = 1; while(exp) { if ( exp&1 ) res = (res*base) % mod; exp >>= 1; base = (base*base) % mod; } return res; }
容斥原理参考:(其证明参考)
实用:若gcd(n,i) == 1,那么gcd(n,n-i)==1
/*************************************************************************************************************************************/
二:牛客例题:小a与黄金街道
时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒
空间限制:C/C++ 32768K,其他语言65536K
64bit IO Format: %lld
题目描述
小a和小b来到了一条布满了黄金的街道上。它们想要带几块黄金回去,然而这里的城管担心他们拿走的太多,于是要求小a和小b通过做一个游戏来决定最后得到的黄金的数量。
游戏规则是这样的:
假设道路长度为n米(左端点为0,右端点为n),同时给出一个数k(下面会提到k的用法)
设小a初始时的黄金数量为A,小b初始时的黄金数量为B
小a从1出发走向n?1,小b从n?1出发走向1,两人的速度均为1m/s
假设某一时刻(必须为整数)小a的位置为x,小b的位置为y,若gcd(n,x)=1且gcd(n,y)=1,那么小a的黄金数量A会变为A?k^x(kg),小b的黄金数量B会变为B?k^y(kg)
当小a到达n?1时游戏结束
小a想知道在游戏结束时A+B的值
答案对1e9+7取模
输入描述:
一行四个整数n,k,A,B
输出描述:
输出一个整数表示答案
示例1
输入
4 2 1 1
输出
32
说明
初始时A=1,B=1
第一个时刻如图所示,小a在1,小b在3,满足条件,此时A=1?21=2,B=1?23=8A=1?21=2,B=1?23=8
第二个时刻小a在2,小b在2,不满足条件
第三个时刻小a在33,小b在11,满足条件,此时A=2?23=16,B=8?21=16A=2?23=16,B=8?21=16
此时游戏结束A=2?23=16,B=8?21=16A=2?23=16,B=8?21=16
A+B=32
示例2
输入
5 1 1 1
输出
2
备注:
保证 3?n?1e8 , 1? A, B, k ?1e13
AC代码:
/***********************************************/ ll Montgomery(ll base,ll exp)//base 底数,exponential 指数,mod 模 { ll res = 1; while(exp) { if ( exp&1 ) res = (res*base) % mod; exp >>= 1; base = (base*base) % mod; } return res; } ll Euler(int n) { ll ret=n; for(int i=2;i<=sqrt(n);i++) if(n%i==0) { ret=ret/i*(i-1);//先进行除法防止溢出(ret=ret*(1-1/p(i))) while(n%i==0) n/=i; } if(n>1) ret=ret/n*(n-1); return ret; } int main() { ll k,A,B; int n; cin>>n>>k>>A>>B; ll a=Euler(n)*n/2; ll p=Montgomery(k,a); cout<<(p*(A+B)%mod)%mod<<endl; return 0; }
原文地址:https://www.cnblogs.com/liuyongliu/p/10305877.html