#290. 【ZJOI2017】仙人掌（数数+仙人掌+树形dp）

传送门

模拟赛的时候打了个表发现为一条链的时候答案是\(2^{n-2}\)竟然顺便过了第一个点

然后之后订正的时候强联通分量打错了调了一个上午

首先不难发现我们可以去掉所有在环上的边，那么就变成了一个森林，不同的树之间不可能有连边，那么只要所有树的答案乘起来就好了，只要在每一棵树内部树形\(dp\)即可

考虑对于\(u\)，它的子树如何统计答案

我们强制子树必须得向外连一条边（显然最多只有一条），然后往上统计

如果子树里没有向外连边，每一棵子树的答案乘起来

如果向外连边的话，那么要把子树内的边两两匹配上。设\(g_i\)为\(i\)个点互相两两匹配的方案数，那么递推式为\[g_i=g_{i-1}+(i-1)\times g_{i-2}\]
边界条件为\(g_0=g_1=1\)

上面的意思是，如果第\(i\)个不连边，那么方案数就是\(g_{i-1}\)，如果连边，那么有\(i-1\)种连法，连完后这两个点都不能再连边了

那么要把子树内的边两两匹配，如果当前节点是根，那么就是子树内向外连的每条链互相匹配，记\(tot\)为当前节点儿子个数，那么就是\(g_{tot}\)，否则链还可以继续往上连，那么是\(g_{tot+1}\)，可以考虑为把当前节点也加入匹配的队列，如果有链和它连上就代表这条链要继续向外连

然后记得开始的时候判一下是不是仙人掌就好了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
inline void swap(R int &x,R int &y){x^=y^=x^=y;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
void write(int x){if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+48);}
void writeln(R int x){write(x);putchar('\n');}
const int N=1e6+5,P=998244353;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
    return res;
}
struct eg{int v,nx,w;}e[N<<1];int head[N],tot=1;
inline void add_edge(R int u,R int v){e[++tot]={v,head[u]},head[u]=tot;}
int dfn[N],col[N],vis[N],f[N],g[N],st[N],low[N];
int n,m,cnt,top,tim,u,v,ans;bool qwq;
inline void clr(){fp(i,1,n)dfn[i]=col[i]=f[i]=vis[i]=head[i]=0;tim=cnt=top=qwq=0,tot=ans=1;}
void tarjan(int u,int fa){
    bool flag=0;st[++top]=u;
    dfn[u]=low[u]=++tim;
    go(u)if(v!=fa){
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,u);cmin(low[u],low[v]);
            if(low[v]<dfn[u]){
                if(flag)return qwq=1,void();
                flag=1;
            }
        }else{
            cmin(low[u],dfn[v]);
            if(low[v]<dfn[u]){
                if(flag)return qwq=1,void();
                flag=1;
            }
        }
    }
    if(low[u]==dfn[u])do{col[st[top--]]=u;}while(st[top+1]!=u);
}
void dp(int u,int fa){
    vis[u]=f[u]=1;int tot=0;
    go(u)if(v!=fa&&!e[i].w){
        dp(v,u),++tot;
        f[u]=mul(f[u],f[v]);
    }
    if(tot)f[u]=mul(f[u],fa?g[tot+1]:g[tot]);
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    g[0]=g[1]=1;fp(i,2,N-5)g[i]=add(g[i-1],mul(i-1,g[i-2]));
    int T=read();
    while(T--){
        n=read(),m=read(),clr();
        fp(i,1,m)u=read(),v=read(),add_edge(u,v),add_edge(v,u);
        tarjan(1,0);
        if(qwq){writeln(0);continue;}
        fp(i,2,tot)e[i].w=(col[e[i].v]==col[e[i^1].v]);
        fp(i,1,n)if(!vis[i])dp(i,0),ans=mul(ans,f[i]);
        writeln(ans);
    }return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10254520.html