在上一次总结过后鸽了没多久其实是快要开学赶紧来肝上两篇
今日内容——同余方程和扩展欧几里得算法
同余
同余的定义：若存在两个整数a，b，使得(a - b) MOD P为0，则称作a与b在MOD P的情况下同余
换种通俗的说法，就是，a MOD P与b MOD P相等
记作 \( a\equiv b (mod P) \)
对于整数a，b，c和自然数m，n
同余具有以下性质：
- 自反性：\( a\equiv a (mod P) \)
- 对称性：若存在\( a\equiv b (mod P) \) ，则 \( b\equiv a (mod P) \)
- 传递性：若存在\( a\equiv b (mod P) \) ，\( b\equiv c (mod P) \)， 则 \( a\equiv b (mod P) \)
- 同加性：若\( a\equiv b (mod P) \)，则 \( (a+c)\equiv (b+c) (mod P) \)
- 同乘性1：若\( a\equiv b (mod P) \)，则 \( (a*c)\equiv (b*c) (mod P) \)
- 同乘性2：若\( a\equiv b (mod P) \) ， \( c\equiv d (mod P) \)，则 \( (a*c)\equiv (b*d) (mod P) \)
- 同幂性：若\( a\equiv b (mod P) \)，则 \( (a^c)\equiv (b^c) (mod P) \)
由此，我们可以得到两条推论
- \( (a*b)mod k = (a mod k)*(b mod k) mod k \)
- 若\( a mod p = x ,a mod q = x，p、q互质，则a mod p*q =x \)
但是，相信像我一样睿智的你也发现了一个问题，没错，同余不满足同除性，即不满足若\( a\equiv b (mod P) \)，则 \( (a/c)\equiv (b/c) (mod P) \)
那么除法取模要如何解决呢，秃顶聪明绝顶的数学家也发现了这个问题，利用逆元的知识，我们就可以解决这个问题啦！
但是逆元，我决定下次再讲，其实就是鸽了（咕咕咕）
扩展欧几里得算法
欧几里得算法相信大家都已经知道了QwQ
就是求gcd的辗转相除法
不知道的可以去看我的上一篇文章（理直气壮的骗访问量QwQ）
那么扩展欧几里得算法是啥？（黑人问号.jpg)
扩展欧几里得算法就是利用了欧几里得算法中迭代的过程，使其能够求出形如\( ax + by = gcd(a , b) \) 的方程的应用
我们可以简单的证明和感性理解一下扩展欧几里得算法的正确性：
首先，当欧几里得算法停止迭代时
有此情况 \( a=1，b=0,此时,gcd(a,b)=x,ax+by = gcd(a,b)显然成立 \)
在迭代的过程中
有 \( b{x}‘ + (a mod b) {y}‘ = gcd(b, a%b) \)与 \( ax + by = gcd(a, b) \)
则由上一层推出
\( x= {y}‘ \)，\( y={x}‘-a/b*{y}‘ \)
于是可推至初始情况，得出解
下面给出代码的实现
int exgcd (int a, int b, int &x, int &y){
if(b == 0){
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int ans = exgcd ( b , a % b , x ,y );
int t = x;
x = y;
y= t - a / b * y;
return ans;
}
就是这样喵
对扩展欧几里得定理的应用
利用扩展欧几里得定理，我们能够求解形如\( ax+by = c \)的问题
当 \(c \mid gcd(a,b) \)时，有\( ax+by = c \)的不定方程有整数解
所以，把原式变形为 \( ax+by = d (d = gcd(a,b) ) \)的形式，利用扩展欧几里得定理可解出方程的一组解\( (x,y) \)，再将其乘以 \( \frac{c} {gcd(a,b)} \)
就能解出原方程的解啦！（快夸我.jpg）
对扩展欧几里得定理求出解的处理
由于形如 \( ax+by = c \) 的线性不定方程有无穷多解，扩展欧几里得定理进行求解的过程中，不一定保证求出的是最小正整数解，为得到最小正整数解，我们有如下的方式
易推出，对于线性不定方程 \( ax+by = c \)，有一组解\(x，y\) 与另一组解 \( a*(x + \frac {a*t} {gcd(a,b)}) ，b*(y- \frac {b*t} {gcd(a,b)} | (t\in \mathbb{Z})) \)都为原方程的解
则可得出方法：对于线性不定方程 \(ax+by = c \) ，其最小正整数解为( \( x= ( (x\%t)+t)\%t) ，(t=b/gcd(a,b))\)，\( y=(((y\%t)+t)\%t) ，(t=a/gcd(a,b)) \) )
至此，问题得到了解决
原文地址：https://www.cnblogs.com/dreagonm/p/9362887.html