读书笔记: 博弈论导论 - 12 - 不完整信息的静态博弈 贝叶斯博弈

贝叶斯博弈(Bayesian Games)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

不完整信息的静态博弈(Incomplete information static games)

不完整信息博弈意味着玩家之间缺乏共识(common knowledge)，具体指的是其它对手的行动集、结果集和收益函数等信息。
对不完整信息博弈的处理方法来自于Harsanyi。
他引进了两个概念来解决这个问题。
type space: 将对手隐藏的信息(行动集、结果集和收益函数等)转化为多个types，每个type中的信息都是可知的。
belief: 由于不知道对手的具体type是什么，因此使用分布概率表示对手选择某个type的可能性。
这样就可以通过概率统计来计算可能的收益。

• 静态不完整信息贝叶斯博弈(static Bayesian game of incomplete information)的normal-form描述
  \[
  \left \langle N, \{ A_i \}_{i=1}^n, \{ \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ v_i(\cdot; \theta_i), \theta_i \in \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ \phi_i \}_{i=1}^n \right \rangle \where \N = \{ 1,2,\cdots, n\} \text{ : is the set of players} \A_i \text{ : the action set of player i} \\Theta_i \text{ : the type space of player i} \v_i : A \times \Theta_i \to \mathbb{R} \text{ : type dependent pay of function of player i} \\phi \text{ : the belief of player i with respect to the uncertainty over the other players' types} \\phi(\theta_{-i} | \theta_i) \text{ : the posterior conditional distribution on } \theta_{-i}
  \]
• 静态不完整信息贝叶斯博弈处理流程：

1. 自然选择一个类型组合(profile of types)\(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_n\)。
2. 每个玩家知道自己\(\theta_i\)，使用先前的\(\phi_i\)来形成对对手type的分布概率。
3. 玩家选择行动。
4. 根据玩家们的行动\(a = (a_i, a_2, \cdots, a_n)\)，可以或者收益\(v_i(a; \theta)\).

• 条件概率(conditional probability)
  当事件S发生时，事件H发生的条件概率为：
  \[
  \Pr{H|S} = \frac{\phi(S \land H)}{\phi(S)}
  \]
• 静态不完整信息贝叶斯博弈 - 纯策略
  \[
  \left \langle N, \{ A_i \}_{i=1}^n, \{ \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ v_i(\cdot; \theta_i), \theta_i \in \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ \phi_i \}_{i=1}^n \right \rangle \\]
  玩家i的一个纯策略\(s_i(\theta_i) \to a_i\)
• 静态不完整信息贝叶斯博弈 - 混合策略
  玩家i的一个混合策略是一个在纯策略之上的概率分布。
• 静态不完整信息贝叶斯博弈 - 纯策略贝叶斯纳什均衡(pure-strategy Bayesian Nash equilibrium)
  一个纯策略贝叶斯纳什均衡\(s^* = (s_1^*, \cdots, s_n^*)\)，如果对于每个玩家i，每个玩家的类型\(\theta_i \in \Theta_i\)，每个行动\(a_i \in A_i\)，满足：
  \[
  \sum_{\theta_{-i} \in \Theta_{-i}} \phi_i(\theta_{-i}|\theta_i) v_i(s_i^*(\theta_i), s_{-i}^*(\theta_{-i});\theta_i)
  \geq \sum_{\theta_{-i} \in \Theta_{-i}} \phi_i(\theta_{-i}|\theta_i) v_i(a_i, s_{-i}^*(\theta_{-i});\theta_i) \where \ v_i(a_i, s_{-i}^*(\theta_{-i});\theta_i) \text{ : only on type } \theta_i \text{, the player i's payoff function}
  \]
  其含义：对于每个玩家，其行动\(s_i^*(\theta_i)\)的分布概率收益总和总是最大的。

关于这章（甚至整本书），重要的是学会如何使用这些理论，书中提供了很好的示例。但这里就不介绍了。

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间
• 读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 04 - 理性和公共知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 05 - 纳什均衡
• 读书笔记: 博弈论导论 - 06 - 混合的策略
• 读书笔记: 博弈论导论 - 07 - 完美信息的动态博弈 预备知识
• 读书笔记: 博弈论导论 - 08 - 完美信息的动态博弈 可信性和顺序合理性
• 读书笔记: 博弈论导论 - 09 - 完美信息的动态博弈 多阶段博弈
• 读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完美信息的动态博弈 重复的博弈
• 读书笔记: 博弈论导论 - 11 - 完美信息的动态博弈 战略协议
• Nash bargaining solution

原文地址：https://www.cnblogs.com/steven-yang/p/8321756.html