一、前述
上一篇我们讲到了微分学，本文我们接着讲解积分学，以及概率的相关知识。
二、本节常用符号如下。
三、积分
1、积分定义
将一个函数对应的区间n等分，然后加和求极限。
2、积分理解
代数意义: 无穷求和
几何意义: 函数与 X 轴之间的有向面积。
3、(牛顿-莱布尼茨公式)
如果 f(x) 是定义在闭区间 [a, b] 上的可微函数, 那么就有
不定积分表示为
牛顿-莱布尼茨公式展示了微分与积分的基本关系: 在一定程度上微分与积分互 为逆运算.
4、案例
求函数 ln(x) 的不定积分。
5、多变量函数的积分
如果积分区域形状不规则，可以用一个矩形把积分区域包起 来，并令函数在积分区域外边等于 0.
二重积分的几何意义是积分函数与 X − Y 坐标平面之间部 分的有向体积.
6、积分学总结
积分的代数意义是无穷求和，几何意义是带符号的体积
微分和积分在一定程度上互为逆运算
熟悉微分公式有助于计算积分
多重积分可以理解成是依次进行的单重积分
四、随机变量与概率
1、离散随机变量（发生事件的几种情况，比如扔塞子。1-6为随机变量）
比如上述事件<=3就是1.2.3事件概率取值。
2、连续随机变量
对于每一个具体的取值的概率为0.
对于连续型随机变量，概率为概率密度函数的积分.
不论是离散还是连续型随机变量, 概率函数和概率密度函数 的定义域即为这个随机变量的值域.
作为一个特殊的概率函数，分布函数定义为 Φ(x) = P(X < x).
我们在此只考虑几乎处处连续的概率密度函数，我们不考虑离散，连续混 合型的随机变量
3、概率
事件的概率（事件是一个集合）
整个概率空间是一个事件，这个事件一定发生所以全空间的 概率为 1
事件是随机变量值域的子集 S
事件的概率则表示 S 里面概率之和或概率密度之积分.
事件的条件概率
条件本身也是事件，也可表示为随机变量值域的子集:A
条件概率里面的事件，又是这个条件的子集:S ∩ A ⊂ A
概率其实就是集合的大小比例，而概率函数或者概率密度函数可以理解为比较 大小时候的权重
4、贝叶斯公式
利用前面的定义我们知道，事件 A, B 同时发生的概率为 P(A ∩ B),
一方面 P(A ∩ B) = P(B|A)P(A)
另一方面对称的有 P(A ∩ B) = P(A|B)P(B)
所以 P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B),
两边同时除以 P(B) 就得到 了贝叶斯公式.
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