0. 引言---回忆
(1) Cauchy 积分公式 (第三章) \beex
\bea f\mbox{ 在 }D\mbox{ 内解析}, \mbox{ 在 }\bar D=D+\p D\mbox{ 上连续}&\ra \int_C
\cfrac{f(z)}{z-a}\rd z=2\pi if(a),\quad a\in D\\ &\ra \int_C
\cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\rd z=\cfrac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(a),\quad a\in D \eea
\eeex
(2) Laurent 定理 \bex
f\mbox{ 以 }a\mbox{ 为孤立奇点}\ra f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-a)^n,
\eex
其中 \bex c_n=\cfrac{1}{2\pi
i}\int_{|z-a|=\rho}\cfrac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\rd z, \eex
特别地, 当 n=1
时, \bex c_{-1}=\cfrac{1}{2\pi
i}\int_{|z-a|=\rho}f(z)\rd z. \eex
(3) 它们都可用来计算周线积分, 比如 \dps{I=\int_{|z|=1}\cfrac{\sin
z}{z^2}\rd z}
:
a. \bex
I=\cfrac{2\pi i}{1!}(\sin z)‘|_{z=0}=2\pi i. \eex
b. \beex
\bea &\quad\cfrac{\sin z}{z^2}=\cfrac{1}{z^2}\sex{z-\cfrac{z^3}{3!}+\cdots}
=\cfrac{1}{z}-\cfrac{z}{3!}+\cdots\\ &\ra I=2\pi i\cdot c_{-1}=2\pi i.
\eea \eeex
但 Cauchy 积分定理只能计算复函数在周线内仅有一个极点的情形.
1. 留数
(1) 定义: 设 a
为 f
的孤立奇点, 则称积分 \bex \cfrac{1}{2\pi
i}\int_{|z-a|=\rho}f(z)\rd z \eex
为 f
在 a
的留数, 记作 \underset{z=a}{\Res}f(z)
.
(2) \underset{z=a}{\Res}f(z)=c_{-1}
.
(3) Cauchy 留数定理: \bex
(\mbox{大范围积分}) \int_Cf(z)\rd z=2\pi i\sum_{k=1}^n \underset{z=a_k}{\Res}f(z).
\eex
2. 计算
(1) 设 a
为 f
的 n
阶极点, 即 \bex f(z)=\cfrac{\phi(z)}{(z-a)^n},\quad
\phi(a)\neq 0, \eex
则 \bex \underset{z=a}{\Res}f(z)
=\cfrac{\phi^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}. \eex
(2) 设 a
为 f
的一阶极点, \phi(z)=(z-a)f(z)
, 则 \bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\phi(a).
\eex
(3) 设 a
为 f
的二阶极点, \phi(z)=(z-a)^2f(z)
, 则 \bex \underset{z=a}{\Res}f(z)=\phi‘(a).
\eex
(4) 设 a
为 f=\cfrac{\phi}{\psi}
的一阶极点 (\phi(a)\neq 0,\ \psi(a)=0,\ \psi‘(a)\neq
0
), 则 \bex
\underset{z=a}{\Res}f(z)=\cfrac{\phi(a)}{\psi‘(a)}. \eex
(5) 例
a. \dps{\int_{|z|=2}\cfrac{5z-2}{z(z-1)^2}\rd z}
.
b. \dps{\int_{|z|=n}\tan \pi z\rd z\ (n\in\bbZ^+)}
.
c. \dps{\int_{|z|=1}\cfrac{\cos z}{z^3}\rd z}
.
d. \dps{\int_{|z|=1} e^\frac{1}{z^2}\rd z}
.
e. \dps{\underset{z=1}{\Res} e^{\frac{1}{z-1}},\quad
\underset{z=1}{\Res}\cfrac{z^{2n}}{(z-1)^n},\quad
\underset{z=1}{\Res}\cfrac{e^z}{z^2-1},\quad
\underset{z=-1}{\Res}\cfrac{e^z}{z^2-1}}
.
作业: P 262 T 1 (1) (2) (3)
.
[复变函数]第21堂课 6 留数理论及其应用 6. 1 留数,码迷,mamicode.com