bnu——GCD SUM （莫比乌斯反演）

题目：GCD SUM

题目链接：http://www.bnuoj.com/v3/problem_show.php?pid=39872

算法：莫比乌斯反演、优化

 1 #include<stdio.h>
 2 #define N 100001
 3 typedef long long LL;
 4 bool pri[N]={0};
 5 int prim[N],po=0;
 6 int mu[N];
 7 LL f[N],ff[N];       //缩短时间
 8 /*
 9   莫比乌斯函数mu[i]的定义：
10   1. 如果 i 是素数，那么mu[i]为-1;
11   2. 如果 i 是由多个不同的素数组成的，那么mu[i]为-1或者1，取决于质因子的数量，奇数就为-1，偶数为1
12   3. 如果 i 不满上面的条件，那么mu[i]为0，比如mu[4]=0;
13   用途：想要判断1~m中有多少数与i互质，那么首先计算出i的质因子，采用容斥定理做，排除掉所有质因子的倍数，再加上被重复计算的
14   比如i=6、m=20时，首先排除2的倍数，再排除3的倍数，现在6的倍数被排除两次，就加上6的倍数数量。
15 */
16 void Init()
17 {
18   mu[1]=1;
19   for(int i=2;i<N;i++)
20   {
21     if(!pri[i])
22     {
23       prim[po++]=i;
24       mu[i]=-1;
25     }
26     for(int j=0;j<po;j++)
27     {
28       LL tmp=i*prim[j];
29       if(tmp>=N) break;
30       pri[tmp]=1;
31       mu[tmp]=mu[i]*-1;
32       if(i%prim[j]==0)
33       {
34         mu[tmp]=0;
35         break;
36       }
37     }
38   }
39   f[0]=ff[0]=0;
40   //f[]：mu的前缀和
41   for(int i=1;i<N;i++)
42   {
43     f[i]=f[i-1]+mu[i];
44     ff[i]=ff[i-1]+mu[i]*i;
45   }
46 }
47 int min(int n,int m)
48 {
49   return n>m?m:n;
50 }
51 int main()
52 {
53   Init();
54   int n,m;
55   while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
56   {
57     LL ans=0,ansx=0,ansy=0;
58     int t=min(n,m);
59     int j=1;
60     /*
61       简化前：
62       for(int i=1;i<=t;i++)
63       {
64         ans+=mu[i]*(n/i)*(m/i);
65         可简化原因：(n/i)*(m/i)虽然i一直在变化，但很多时候是相等的，比如15/8等于1，一直到15/15还是等于1。。。
66         ansx+=mu[i]*(m/i)*(i+(n/i)*i)*(n/i)/2;
67         ...
68       }
69       n/i：得到值，随着i的增大，如果这个值一直不变，那么这些可以和在一起算。
70       n/(n/i)：得到上面值得最大i，从上面的i到现在的i=n/(n/i)，之间的n/i，都等于n/i
71     */
72     for(int i=1;i<=t;i=j+1)
73     {
74       j=min(n/(n/i),m/(m/i));
75       ans+=(f[j]-f[i-1])*(n/i)*(m/i);
76       ansx+=(ff[j]-ff[i-1])*(m/i)*(1+(n/i))*(n/i)/2;
77       ansy+=(ff[j]-ff[i-1])*(n/i)*(1+(m/i))*(m/i)/2;
78     }
79     printf("%lld %lld %lld\n",ans,ansx,ansy);
80   }
81   return 0;
82 }