AOJ 758.大数的位数

大数的位数

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Description

给出一个整数，确定这个数的阶乘的位数。

Input

多组数据，每行为一个大于等于1且小于等于107的整数n.

Output

对应每个输入数据输出一个结果。

Sample Input

Original

Transformed

10
20

Sample Output

Original

Transformed

7
19

两种方法可能可以实现：

1. 抛去一定的精度来计算
2. 采用数学公式计算

对于第一种方法，我们可以得知，对于两个大数相乘，其较低位对结果的影响较小，因此我们可以舍弃一些数据

采用类似于科学记数法的形式来计算(a*10^b)

这种做法，当n较大时，会由于误差的累积导致错误。

而第二种方法可以采用一些数学公式计算

log₁₀n! = log₁₀(1*2*3*......*n) = log₁₀1+log₁₀2+log₁₀3+...+log₁₀n

显然，等式右侧我们可以轻易得出。

而等式左侧，log₁₀n的意义是n对10的对数，即10^log₁₀n=n

对于一个整数k，若10^k<n<10^k+1，我们可以得出结论，n是k位数

所以，大数n!的位数就是log₁₀n!，由于int的向下取整性质，我们还要将这个数再加上1

虽然题目上说的最大值是107，然而，最大值至少是197(方法1WA)

AC代码:GitHub

 1 /*
 2 By:OhYee
 3 Github:OhYee
 4 HomePage:http://www.oyohyee.com
 5 Email:[email protected]
 6 Blog:http://www.cnblogs.com/ohyee/
 7
 8 かしこいかわいい？
 9 エリーチカ！
10 要写出来Хорошо的代码哦~
11 */
12
13 #include <cstdio>
14 #include <algorithm>
15 #include <cstring>
16 #include <cmath>
17 #include <string>
18 #include <iostream>
19 #include <vector>
20 #include <list>
21 #include <queue>
22 #include <stack>
23 #include <map>
24 using namespace std;
25
26 //DEBUG MODE
27 #define debug 0
28
29 //循环
30 #define REP(n) for(int o=0;o<n;o++)
31
32 const int maxn = 10005;
33 bool tree[maxn];
34
35 int bit(int n) {
36     int a = 1;
37     int e = 0;
38
39     for(int i = 1;i <= n;i++) {
40         a *= i;
41         while(a / 100000) {//保证精度
42             a /= 10;
43             e++;
44         }
45     }
46
47     while(a) {//转化为位数
48         a /= 10;
49         e++;
50     }
51
52     return e;
53 }
54
55 //n! = 1*2*3*4*5*......*(n-1)*n
56 //ln n! = ln 1+len2+......ln(n-1)+ln n
57 int mathbit(int n) {
58     double ans = 0;
59     for(int i = 1;i <= n;i++)
60         ans += log10(i);
61     return (int)ans+1;
62 }
63
64
65 bool Do() {
66     int n;
67     if(scanf("%d",&n) == EOF)
68         return false;
69
70
71     printf("%d\n",mathbit(n));
72     return true;
73 }
74
75 int main() {
76     while(Do());
77     return 0;
78 }