作为机器学习的新手，最近在啃MLAPP，看到第3.3.4.1节讲的Laplace’s rule of succession后自己做了下笔记，欢迎大神们指正（如果能看得到的话）。
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假设我们在做一个抛硬币的实验，硬币出现正面的概率是\(\theta\)。在已知前\(n\)次结果的情况下，如何推断抛下一次硬币出现正面的概率呢？
当\(n\)很大的时候，我们可以直接统计正面出现的次数，假设为\(n_1\)，然后可以做出推断\(\theta=\frac{n_1}{n}\)。
但是，如果\(n\)很小，上述公式就不合适了。注意“硬币出现正面的概率是\(\theta\)”这句话的意思是说在实验次数趋近无穷的时候，正面出现的次数除以总抛掷次数近似等于\(\theta\)。而在实验次数很少的情况下这个比值可能偏离\(\theta\)很远。比如只做三次试验，而且全都是反面，如果利用上面的公式来进行计算将得到\(\theta=0\)。这时，我们可以利用贝叶斯定理来做一个更为合理的推断，结果就是Laplace’s rule of succession。
假设先验概率\(P(\theta)\)是\([0,1]\)上的均匀分布。似然 (likelihood)\(P(D|\theta)=\theta^{n_1}(1-\theta)^{n-n_1}\)，其中\(D\)代表已知的实验结果（即出现\(n_1\)次正面）。这样，利用贝叶斯定理我们可以得到后验概率的计算公式为：
\(P(\theta|D)=\frac{P(D|\theta)P(\theta)}{\int_0^1 P(D|t)P(t)dt}\)。
根据假设，先验概率\P(\theta)\是\[0,1]\上的均匀分布，所以可以将其从积分中提出来并消去，得到：
\(P(\theta|D)=\frac{P(D|\theta)}{\int_0^1 P(D|t)t}\)
再利用公式（Beta函数的性质）：
\(\int_0^1P(D|\theta)d\theta=\int_0^1\theta^{n_1}(1-\theta)^{n-n_1}d\theta=\frac{n_1!(n-n_1)!}{(n+1)!}\)
可以得到后验概率\P(\theta|D)\的表达式：
\(P(\theta|D)=\frac{(n+1)!}{n_1!(n-n_1)!}\theta^{n_1}(1-\theta)^{n-n_1}\)
可见其刚好是Beta分布\(B(n_1+1,n-n_1+1)\)，其期望值为\(\frac{n_1+1}{n+2}\)。
求出了后验概率\(P(\theta|D)\)的期望值，便可以用它来作为下次出现正面的概率了。
可以发现后验概率相当于把出现正面的次数加上了1，然后把总抛掷次数加2。
这个方法在朴素贝叶斯分类器中有应用，可以参见《机器学习实战》中相关章节。