非旋 $treap$ （FHQ treap）的简单入门
前置技能
建议在掌握普通 treap 以及 左偏堆（也就是可并堆）食用本blog
原理
以随机数维护平衡，使树高期望为logn级别， FHQ 不依靠旋转，只有两个核心操作merge（合并）和split（拆分）
所谓随机数维护平衡就是给每个节点一个随机值 key （下文中没有加随机的就代表是真实权值），
然后整棵树中 key 值要满足小（大）根堆的性质（也就是heap），
同时也要满足平衡树（tree）的性质（也就是每个节点左子树内节点真实权值小于它，右子树相反）
然后这个玩意儿就有了一个草率的名字：treap （tree 和 heap 的结合体）
结构体变量介绍
1 int Rand() { //伪随机函数，能让代码稍微变快
2 static int seed=703;
3 return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>1));
4 }
5 struct Node {
6 int val,key,siz,ch[2];
7 // val 真实权值，key 随机权值，siz 子树大小 ， ch 左右子节点
8 void clear() { //清空操作
9 ch[0]=ch[1]=siz=val=key=0;
10 }
11 } t[M];
12 int update(int now){ //更新操作
13 t[now].siz=t[t[now].ch[0]].siz+t[t[now].ch[1]].siz+1;
14 }
veiw code
核心操作
merge操作
模型实现
假设有两颗子树x，y，且 x 的所有节点的值都小于 y 的所有节点的值，随机权值 key 都以小根堆的形式存储。
此时要合并 x 和 y 。我们先比较它们的根的随机权值，发现1<3，因为要满足小根堆性质，于是 x 的左子树全部不变，让它的右子树继续和 y 合并。
这时我们发现，随机权值 key 5>3，所以 y 接到 rot 的下方，成为 rot 的右儿子，y的右子树全部不变，让y的左子树继续和x合并（以满足平衡树的性质）。
由于5>4，所以y和y的右子树作为rot的左儿子，y的左子树继续和x合并。
5<7，所以接入x和它的左子树作为rot的左儿子。
至此，我们发现 x 为 0 ，所以直接返回 y ，合并结束。
代码实现
1 int merge(int u,int v) { // 此时 u 中节点权值均小于 v 中节点权值
2 if(!u || !v) return u|v; //某节点为空,直接返回另一节点
3 if(t[u].key<t[v].key) { //以此满足 heap 性质
4 t[u].ch[1]=merge(t[u].ch[1],v); // u 右子节点与 v 合并, 以满足平衡树性质
5 update(u); return u;
6 } else {
7 t[v].ch[0]=merge(u,t[v].ch[0]); // u 与 v 左子节点合并, 以满足平衡树性质
8 update(v); return v;
9 }
10 }
view code
split操作
split有两种拆分方式:
1. 按权值大小拆分
2. 按排名大小拆分。
模型实现
1.按权值split
首先得有个基准值 a ，即权值小于等于 a 的节点全部进入左树（下图中会将此类节点染红），大于a的节点全部进入右树（下图中会将此类节点染蓝）。这里以a=25为例。
首先，发现rot的权值=15<25，由平衡树的性质可知，rot的左子树所有节点权值一定小于25，所以rot和它的的左子树全部进入左树，继续拆分rot的右子树。
32>25，所以 rot 和它的右子树全部进入右树，继续拆分 rot 的左子树。
29>25，同上。
24<25，所以拆分右子树。
27>25，所以拆分左子树。
发现此时rot为0，所以拆分完毕，返回。
2.按排名split
就是把前 k 个节点拆入左树，其它节点拆入右树。这里以k=5为例。
rot的左子树的siz+1=3<5，所以rot和它的左子树进入左树，其他节点拆分5-3=2个节点进入左树。
4+1>2，所以rot和右子树进入右树，其它节点继续拆分出2个节点进入左树。
3+1>2，同上。
1+1=2，所以rot和左子树进入左树，其它节点继续拆分2-2=0个节点进入左树。
1+0>0，所以rot和右子树进入右树，其它节点继续拆分0个节点进入左树。
rot为0，拆分结束。
代码实现
1.按权值split
1 void split_val(int now,int k,int& x,int& y) {
2 if(!now) return (void)(x=y=0); //节点为空, return
3 if(t[now].val<=k) //当前节点和它的左子树都满足进入左树的条件
4 x=now,split_val(t[now].ch[1],k,t[now].ch[1],y);
5 else //当前节点和它的右子树都满足进入右树的条件
6 y=now,split_val(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
7 update(now);
8 }
view code
2.按排名split
1 void split_k(int now,int k,int& x,int& y) { //与按权值 split 类似
2 if(!now) return (void)(x=y=0);
3 update(now);
4 if(t[t[now].ch[0]].siz<k)
5 x=now,split_k(t[now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[now].ch[1],y);
6 else
7 y=now,split_k(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
8 update(now);
9 }
view code
其他操作
FHQ treap 的核心操作只有 merge 和 split 两个，其他操作都是基于这两个操作实现的。
插入
插入权值为 x 的节点时，先新建一个节点，再以 x 为界按权值 split 整棵树为a,b，再按顺序 merge a，x，b。
代码实现
1 void ins(int x) {
2 int u,a,b;
3 t[u=++cnt].key=Rand();
4 t[u].val=x,t[u].siz=1;
5 split_val(root,x,a,b);
6 root=merge(merge(a,u),b);
7 }
view code
删除
要删除x，先将整棵树以 x-1 为界按权值split 成a和b，再将 b 以 1 为界 按排名split 成c和d，则 c 就是要删除的节点。最后按顺序merge a，b，d。
（当然，这是在要删除节点必定存在的情况下才能进行的操作，不存在的情况请自行脑补）
代码实现
1 void del(int x) {
2 int a,b,c,d;
3 split_val(root,x-1,a,b);
4 split_k(b,1,c,d);
5 t[c].clear(),root=merge(a,d);
6 }
view code
查询 x 的排名
先将整棵树以x-1按权值split成a和b，则a的siz+1即为x的排名。
代码实现
1 int get_rank(int x) {
2 int a,b,c;
3 split_val(root,x-1,a,b);
4 c=t[a].siz+1;
5 root=merge(a,b);
6 return c;
7 }
view code
查询排名为 k 的值
先split出整棵树前k-1小节点，则右树最小节点即为所求节点，再次split 即可。
代码实现
1 int get_val(int& now,int x) {
2 int a,b,c,d,e;
3 split_k(now,x-1,a,b);
4 split_k(b,1,c,d);
5 e=t[c].val;
6 now=merge(a,merge(c,d));
7 return e;
8 }
view code
查x前驱
将整棵树以x-1按权值split，左树中最大节点即为所求节点，转入第x小值问题。
代码实现
1 int pre(int x) {
2 int a,b,c;
3 split_val(root,x-1,a,b);
4 c=get_val(a,t[a].siz);
5 root=merge(a,b);
6 return c;
7 }
view code
查x后继
将整棵树以x按权值split，右树中最小节点即为所求节点，转入第x小值问题。
代码实现
1 int sub(int x) {
2 int a,b,c;
3 split_val(root,x,a,b);
4 c=get_val(b,1);
5 root=merge(a,b);
6 return c;
7 }
view code
非旋 Treap的其他作用
非旋 trap 是支持区间操作的，具体其实就是你把原来的一棵树 split 成 3 棵树（$1~l-1,l~r,r+1~n$），然后 我们对中间那棵树进行操作即可，具体代码不附上了
例题
代码
1 //by Judge
2 #include<iostream>
3 #include<cstdio>
4 using namespace std;
5 const int M=1e5+111;
6 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
8 inline int read(){
9 #define num ch-‘0‘
10 char ch;bool flag=0;int res;
11 while(!isdigit(ch=getc()))
12 (ch==‘-‘)&&(flag=true);
13 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
14 (flag)&&(res=-res);
15 #undef num
16 return res;
17 }
18 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
19 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
20 inline void print(int x){
21 if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
22 while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
23 while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=‘\n‘;
24 }
25 int n,cnt,root;
26 int Rand() {
27 static int seed=703;
28 return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>1));
29 }
30 struct Node {
31 int val,key,siz,ch[2];
32 void clear() {
33 ch[0]=ch[1]=siz=val=key=0;
34 }
35 } t[M];
36 int update(int now){
37 t[now].siz=t[t[now].ch[0]].siz+t[t[now].ch[1]].siz+1;
38 }
39 int merge(int u,int v) {
40 if(!u || !v) return u|v;
41 if(t[u].key<t[v].key) {
42 t[u].ch[1]=merge(t[u].ch[1],v);
43 update(u); return u;
44 } else {
45 t[v].ch[0]=merge(u,t[v].ch[0]);
46 update(v); return v;
47 }
48 }
49 void split_val(int now,int k,int& x,int& y) {
50 if(!now) return (void)(x=y=0);
51 if(t[now].val<=k)
52 x=now,split_val(t[now].ch[1],k,t[now].ch[1],y);
53 else
54 y=now,split_val(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
55 update(now);
56 }
57 void split_k(int now,int k,int& x,int& y) {
58 if(!now) return (void)(x=y=0);
59 update(now);
60 if(t[t[now].ch[0]].siz<k)
61 x=now,split_k(t[now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[now].ch[1],y);
62 else
63 y=now,split_k(t[now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
64 update(now);
65 }
66 void ins(int x) {
67 int u,a,b;
68 t[u=++cnt].key=Rand();
69 t[u].val=x,t[u].siz=1;
70 split_val(root,x,a,b);
71 root=merge(merge(a,u),b);
72 }
73 void del(int x) {
74 int a,b,c,d;
75 split_val(root,x-1,a,b);
76 split_k(b,1,c,d);
77 t[c].clear(),root=merge(a,d);
78 }
79 int get_rank(int x) {
80 int a,b,c;
81 split_val(root,x-1,a,b);
82 c=t[a].siz+1;
83 root=merge(a,b);
84 return c;
85 }
86 int get_val(int& now,int x) {
87 int a,b,c,d,e;
88 split_k(now,x-1,a,b);
89 split_k(b,1,c,d);
90 e=t[c].val;
91 now=merge(a,merge(c,d));
92 return e;
93 }
94 int pre(int x) {
95 int a,b,c;
96 split_val(root,x-1,a,b);
97 c=get_val(a,t[a].siz);
98 root=merge(a,b);
99 return c;
100 }
101 int sub(int x) {
102 int a,b,c;
103 split_val(root,x,a,b);
104 c=get_val(b,1);
105 root=merge(a,b);
106 return c;
107 }
108 int main() {
109 n=read(); int opt,x;
110 while(n--){
111 opt=read(),x=read();
112 switch(opt){
113 case 1: ins(x); break;
114 case 2: del(x); break;
115 case 3: print(get_rank(x)); break;
116 case 4: print(get_val(root,x)); break;
117 case 5: print(pre(x)); break;
118 case 6: print(sub(x)); break;
119 }
120 } Ot(); return 0;
121 }
view code
然后这是压过行了的：
1 //by Judge
2 #include<iostream>
3 #include<cstdio>
4 using namespace std;
5 const int M=1e5+111;
6 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
8 inline int read(){
9 #define num ch-‘0‘
10 char ch;bool flag=0;int res;
11 while(!isdigit(ch=getc()))
12 (ch==‘-‘)&&(flag=true);
13 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
14 (flag)&&(res=-res);
15 #undef num
16 return res;
17 }
18 char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
19 inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
20 inline void print(int x){
21 if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
22 while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
23 while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=‘\n‘;
24 }
25 int n,cnt,root;
26 struct Node {
27 int val,key,siz,ch[2];
28 void clear() { ch[0]=ch[1]=siz=val=key=0; }
29 } t[M];
30 int Rand() { static int seed=703; return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>1)); }
31 int update(int now){ t[now].siz=t[t[now].ch[0]].siz+t[t[now].ch[1]].siz+1; }
32 int merge(int u,int v) {
33 if(!u || !v) return u|v;
34 if(t[u].key<t[v].key) { t[u].ch[1]=merge(t[u].ch[1],v),update(u); return u; }
35 else { t[v].ch[0]=merge(u,t[v].ch[0]),update(v); return v; }
36 }
37 void split_val(int now,int k,int& x,int& y) {
38 if(!now) return (void)(x=y=0);
39 if(t[now].val<=k) split_val(t[x=now].ch[1],k,t[now].ch[1],y);
40 else split_val(t[y=now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
41 update(now);
42 }
43 void split_k(int now,int k,int& x,int& y) {
44 if(!now) return (void)(x=y=0);
45 if(t[t[now].ch[0]].siz>=k) split_k(t[y=now].ch[0],k,x,t[now].ch[0]);
46 else split_k(t[x=now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[now].ch[1],y);
47 update(now);
48 }
49 void ins(int x) { int u,a,b; t[u=++cnt].key=Rand(),t[u].val=x,t[u].siz=1,split_val(root,x,a,b),root=merge(merge(a,u),b); }
50 void del(int x) { int a,b,c,d; split_val(root,x-1,a,b),split_k(b,1,c,d),t[c].clear(),root=merge(a,d); }
51 int get_rank(int x) { int a,b,c; split_val(root,x-1,a,b),c=t[a].siz+1,root=merge(a,b); return c; }
52 int get_val(int& now,int x) { int a,b,c,d,e; split_k(now,x-1,a,b),split_k(b,1,c,d),e=t[c].val,now=merge(a,merge(c,d)); return e; }
53 int pre(int x) { int a,b,c; split_val(root,x-1,a,b),c=get_val(a,t[a].siz),root=merge(a,b); return c; }
54 int sub(int x) { int a,b,c; split_val(root,x,a,b),c=get_val(b,1),root=merge(a,b); return c; }
55 int main() {
56 n=read(); int opt,x;
57 while(n--){
58 opt=read(),x=read();
59 switch(opt){
60 case 1: ins(x); break;
61 case 2: del(x); break;
62 case 3: print(get_rank(x)); break;
63 case 4: print(get_val(root,x)); break;
64 case 5: print(pre(x)); break;
65 case 6: print(sub(x)); break;
66 }
67 } Ot(); return 0;
68 }
view code
最后感谢 axjcy 大佬的 blog
原文地址：https://www.cnblogs.com/Judge/p/9506980.html
时间： 2024-10-28 14:53:27